Оптимизация асимптотических разложений в центральной предельной теореме

• Автор: Соболев, Виталий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с.

Содержание
Введение

Обозначения и предварительные сведения

Асимптотические разложения для распределений и плотностей с использованием многочленов Чебышева-Эрмита

Краткое содержание и основные результаты диссертации

Глава 1. Построение асимптотических разложений с помощью зарядов

1.1 Заряды
1.2 Предварительные замечания о построении разложений для плотностей гладких распределений
1.3 Асимптотические разложения для распределений с моментами порядка не болсс восьмого. Формулировки теорем

1.4 Доказательства теорем

Глава 2. О новых формах асимптотических разложений в ЦПТ

2.1 Предварительные рассуждения
2.2 Разложения Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера
2.3 Одна новая форма асимптотических разложений
2.4 Новая форма разложений и разложения Грама-Шарлье
2.5 Новая форма разложений и разложения Эджворта-Крамера
2.6 О коэффициентах полиномов из разложения Эджворта-Крамера
Глава 3. Некоторые следствия глав 1 и 2. Численные иллюстрации.
3.1 Асимптотические разложения для функций распределения
3.2 Асимптотические разложения для решетчатых распределений
3.3 Сравнение разложений, полученных с использованием и без использования сопровождающих зарядов
3.4 Некоторые численные результаты
Заключение
Список литературы

Введение
Обозначения и предварительные сведения
Пусть Х, Х2, ... - независимые одинаково распределенные случайные
величины с нулевым средним MXj - 0 и единичной дисперсией DXl =
1. Обозначим через Р общее распределение этих случайных величии,
через Рп - распределение нормированной суммы (Х +... + Хп)гГ^,
где п - натуральное число. Пусть F(x) - функция распределения,
a f (t) - характеристическая функция распределения Р. Обозначим
через Fn(x) функцию распределения распределения Рп, через /„ (t) его
характеристическую функцию и через рп (ж) плотность распределения Рп,
если она существует. Мы предполагаем, что все используемые в дальнейшем
абсолютные моменты M|Xi|fc существуют. Далее для удобства мы будем
использовать не сами моменты, а величины ак = щуЧ Рк — , которые
будем называть нормированными моментами. Из наших предположений
следует, что cto = 1 , a?i = 0 , сиг = |. Через Ф(ж) обозначим функцию
распределения стандартного нормального закона с плотностью <р(х) =
-Т=е-;Ч. Через ctk{ Когда это не будет вызывать недоразумений, будем опускать аргументы функций у величин, указанных выше.
Многочлены Чебышева-Эрмита. В данной работе под многочленами Чебышева-Эрмита [8, стр. 55] будем понимать многочлены, которые определим с помощью формулы Родрига [71, стр. 55]:
Нк(х) = (-1)*^^- ,к = 0,1, 2,.. . (1)
<р{х)
Здесь стоит заметить, что в разных источниках многочлены Чебышева-
Эрмита определяются по разному. Во многих работах (например, [6, стр. 75])

вместо рассмотренной налги функции <р(ж) = используют функцию
е~х . Функции подобного вида мы видим у Й.П. Грама [89, стр. 71] Фп (ж) =
D"e^-‘'2. Все известные современные авторы придерживаются одного из этих
определений. Чебышев же в [77, стр. 337] использовал обобщающую эти два
случая запись. Так. он рассматривал многочлены, которые можно получить

С ПОМОЩЬЮ формулы Родрига, если вместо ж) = ^==е_ 2 взять функцию
вида е~кх где к некоторый параметр. Данный вид функций возникал у него вевязи с рассмотрением плотности вероятности pie kx2 ■ Выбор автором плотности распределения нормального закона в качестве определяющей функции связан с удобством се использования в рассматриваемой задаче. Исторически его можно подкрепить работой Г. Крамера [30, стр. 248], в которой при построении асимптотических разложений формула (1) имеет вид (ж) = (—1 )kHk(x)ip{x). Она явно присутствует в работе [85, стр. 5] К.-Г. Эссеена, используется в работе В.А. Статулявичуса [67]. В.В. Петров [46] использует формулу (1) В виде W (Ж) = ( — (ж).
В своей монографии [7] ‘Теория ортогональных многочленов1' (Обзор достижений отечественной математики) Я.Л. Геропимуе достаточно подробно говорит о появлении н развитии многочленов Чебышсва-Эрмита. В работе Е.П. Ожиговой ’Шарль Эрмит 1833-1901” [37] (ответевеиный редактор А.П. Юшкевич) имеется гл. 4 ’’Ортогональные полиномы”, в которой в частности рассматривается вклад Ш. Эрмита и других учёных в исследовании данных многочленов. В данной работе не ставятся задачи подробного изучения исторических аспектов, поэтому вслед за Я.Л. Геронимусом и Е.П. Ожиговой дадим краткую историческую справку, а за более подробным описанием, как и за более подробным списком ссылок, отошлем читателя к названным выше работам [7, 37].
Я.Л. Геропимуе [7, стр. 34] пишет, что многочлены Чебышсва-Эрмита встречаются у П.С. Лапласа [91]. В 1859 г. они были достаточно подробно изучены П.Л. Чебышевым. Так, П. Л. Чебышев нашел представление Родрига для этих многочленов, которое дано выше. В работе [77] он использовал разложение интеграла f00^ ^z^du по многочленам, впоследствии получившим его имя. В 1864 г. многочлены были рассмотрены Ш. Эрмитом [90, стр. 293-308]. Начиная с работы 1880 г., Н.Я. Сонин обобщил многочлены Чебышева-Эрмита, рассмотрев вес е~х~ |ж|2с , с > —, —оо < х < +оо (вес здесь понимается как функция, к которой применяется формула Родрига [7, стр. 34]), нашел для этих многочленов производящую функцию и установил связь между ними и многочленами Чебышева-Лаггера [71, стр. 219]. В работе 1884 г. A.A. Марков применил обобщенные Н.Я. Сониным многочлены при разложении в непрерывную дробь интеграла е du. A.A. Марков обубликовал довольно много работ по по теории ортогональных многочленов [36]. Интересно, что в

Поэтому плотность S 1-заряда - это сумма первых т + 1 слагаемых ряда Грамма-Шарлье исходной плотности р(х). и их разность формально может быть записана в виде

р(х) - q(x) = ^2 &кНк(х)(р(х). к=т+
При сделанных допущениях и формальная запись разности характеристических функций имеет простой вид

f(t) - 9(t) = вк(И)ке~¥.
k—m+l
Трудности работы с данным типом зарядов возникают в следующем: поскольку при решении задачи в первую очередь рассматривается поведение распределений Рп, то появляется формула, связывающая исходное распределения Р с распределением Рп. Так, плотность рп распределения Рп можно выразить через характеристическую функцию / распределения Р

Рп{х) = e~iixfn Шdt ■

Эта формула заведомо справедлива [63, стр. 147] для п ^ и > 0, если

J If(t)udt < оо.

Таким образом, необходимо рассматривать не функции fit) и g{t), а функции Г и дп (Д).
Обозначим через qn(х) плотность n-кратной нормированной свертки Qn заряда Q. Тогда характеристическая функция gn(t) заряда Qn равна дп у= j. Плотность qn (х) при любом п ^ 1 можно вычислять по формуле обращения для преобразования Фурье

?n(aO = £ / R~itX9n )dt ■

Здесь и возникают сложности обращения, поскольку