Многомерные предельные теоремы для вероятностей больших уклонений

• Автор: Светулявичене, Виля Казевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Вильнюс
• Количество страниц: 88 c. : ил

Глава I. ВЕРОЯТНОСТИ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ В Rs

ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЯ КРАМЕРА

§ I.I. Формулировка результатов

§ 1.2. Леммы

§ 1.3. Доказательства теорем I.I и 1.2 ...ZQ.

Глава 2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ БОЛЬШИХ

УКЛОНЕНИЙ В ЗОНАХ ЛИННИКА

§ 2.1. Обозначения и основные результаты .А0

§ 2.2. Доказательства теорем 2.1 и 2.2 ...Ж.

§ 2.3. Доказательства теорем 2.3-2

§ 2.4. Многомерные локальные предельные

теоремы для больших уклонений
Глава 3. О ВЕРОЯТНОСТЯХ УМЕРЕННЫХ УКЛОНЕНИЙ В [I5
§ 3.1. Основные результаты и вспомога-

тельные леммы
§ 3.2. Доказательства теорем
ЛИТЕРАТУРА

I. Пусть R5 - евклидово пространство векторов с нормой Ix|=^21xjj и Х(} X... последовательность независимых одинаково распределенных слу-

чайных векторов со значениями в к , с нулевым средним и с единичной ковариационной матрицей. Пусть F(x) - закон распре-деления вектора X
Положим 5а = Х<1)+ ... + X(rL) , g ^(*) и функции распределения соответственно 5n/tn и нормального вектора с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей.
Задача о больших уклонениях в R5 обычно ставится как
нахождение асимптотики ( п -> оо ) вероятностей
= р{ (h & Дг } > R , С1)
в предположении, что последовательность {1>а| выбирается из некоторого класса подмножеств R5 таким образом, что (I)
стремится К нулю при п->схэ ,
В настоящей работе исследуется нормальное приближение для вероятностей (I) в следующих трех случаях:
1). Когда выполнен многомерный аналог условия Крамера, т.е. когда интеграл
Й(Ь) = | eCh’K)cLF(x) (2)
/г5
сходится для всех Ikl< Н , И >о .
2). Когда выполнено условие типа Ю.В.Линника, т.е. когда
Je^°KI)dF(x) < аО , £(х) е Хс ,

где - класс неубывающих функций, удовлетворяющих условиям д(х) > f(x) tnx , х >
Х>С<($), 0 $(х,/х монотонно убывает, a ÿ(x) - функция, сколь угодно медленно стремящаяся к бесконечности при х->°° ( условие (3) было введено С.В.Нагаевым в одномерном случае (см. [23], [64]) и является некоторым ослаблением известных условий Ю.В.Линника ).
3). Когда fO<) при 1зс|-*«ха убывает степенным образом.
2. Исследованию вероятностей больших уклонений крамеровско-го типа в одномерном случае посвящено довольно много работ. Первыми результатами в изучении предельных теорем с учетом больших уклонений были работы А.Я.Хинчина [62] и Н.В.Смирнова [48], в которых рассматривались большие уклонения для схемы Бернулли. Первые общие результаты в этом направлении получены F.Крамером [20] (1938г.). Дальнейшее развитие теории больших уклонений крамеровс-кого типа находим в работах В.В.Петрова [29] - [31], В.Статуляви-чуса [68], Л.Саулиса [40] - [42] и др.. В.В.Петров обобщил теорему Крамера на случай неодинаково распределенных величин и заменил порядок роста х= о((п/1ап) на х=о(т). В.Статулявичус доказал общую теорему для любой случайной величины, удовлетворяющей условию Крамера в терминах семиинвариантов. В частности в качестве этой случайной величины можно взять суммы как независимых так и зависимых случайных величин. Л.Саулис получил асимптотические разложения остаточного члена в асимптотике вероятностей больших уклонений.
Общие асимптотические формулы для вероятностей Fn(Da) при гг -* оо для некоторых последовательностей {IV} П°Д“ множеств R , имеющих "большие отклонения1? от нуля, при

Учитывая (2.65), имеем (п =п IРп^л(В/а-х)сСН(*)

6 Сп е3(Ш}Гъ-^(^)* спе?(МП)> (2-67)
И П. . п.
<Г п[ г- Ь ч— Г?'
»>=2 ' •)

Л- а( -ШШ) о(А(п))
^ С/__!)[ $ С± п (В . (2.68)
у>=2.
Согласно (2.63), (2.66) - (2.68)
ОТ) «с.п.в.е>)
Отсюда и из соотношений (2.2), (2.5), (2.6) и (2.8) следует, что при достаточно больших
7О>] = 0(е^а,ф(£^-Тр)' (2.70)
Наконец из (2.25), (2.62) и (2.70) следует утверждение теоремы.
Доказательство теоремы 2.2. Будем придерживаться обозначений, введенных при доказательстве теоремы 2.1.
Введем в рассмотрение множество Ва={Ь-/Д| £ 1^— и определим распределение на £5 следующим образом
А ^ 1 0 , 1у1 > Л(п).
Пусть ЪуЛ(у)=Р^Г}(у) и Рп,л(у)=■ I • Сначала вычислим где [%■ <1, с= 4 ,ь,
= /тгг'п (2(/л/ + Чд'Ога), ^пУт)