Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями

• Автор: Еникеева, Зульфира Аснафовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 106 с. : ил.

1. Усиленные законы больших чисел для
индикаторов независимых событий
1.1. Сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин
1.2. Равномерная сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин, зависящих от параметра времени
1.3. Усиленные законы больших чисел, связанные с событиями теории размещения
2. Предельные теоремы для случайных ломаных,
построенных по суммам независимых случайных величин с замещениями
2.1. Сходимость случайных процессов с
независимыми приращениями
2.2. Сходимость к случайному процессу Орнштейна-Уленбека
2.3. Предельные теоремы, связанные с событиями
теории размещения
3. Слабая сходимость функций от случайных процессов
3.1. Сходимость функционалов от случайных сумм
3.2. Оператор Вольтерра от случайных сумм
4. Приложения к финансовой математике
Литература

1. Общая характеристика работы.
Актуальность темы. Исследование слабой сходимости случайных ломаных и случайных ступенчатых линий, определенных случайными величинами, в линейных метрических пространствах вещественных функций является важным направлением в теории вероятностей. В первых результатах этого направления, полученных Колмогоровым, Эрдешем, Кацем, Донскером, изучалась сходимость функционалов от последовательности сумм независимых центрированных случайных величин, имеющих конечные вторые моменты. В ([28], 1954)
A. Н. Колмогоров и Ю. В. Прохоров заметили что эти результаты являются следствием сходимости по распределению в пространстве непрерывных функций С[0,1] некоторых случайных элементов, со значениями в множестве ломаных линий к распределению определяемому винеровским процессом. В работах Ю. В. Прохорова [17],
B. М. Круглова [12], [13], Т. Микоша [30], С. Янсона и М. Вишуры [29], И. А. Ибрагимова и А. Н. Бородина [4], П. Бикеля и М. Вишуры [21], В.Бенткуса и К. Любимскаса [1], К. А. Боровкова [4], Д. М. Чибисова [18] получены обобщения теоремы А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова на суммы разнораспределенных случайных величин, на билинейные и полилинейные формы от случайных величин, на функции от сумм случайных величин.
Настоящая работа лежит в русле этого направления. В работе доказывается сходимость случайных ломаных определенных суммами независимых случайных величин, причем в этих суммах одни случайные величины случайным образом замещаются другими. Замещения определяются умножением на значения индикаторов,
(D5) существует функция /(f) £ C(,(R+), такая что для любого f £ R+
f(t) = jim/п(*)-
Теорема 2.1. Предположим, что выполнены условия (D1)-(D5) и Xin(ui) - последовательность случайных процессов, определенная формулами (XI) и (XI). Тогда при п —> оо
Х1п(ом) Wfvi
в пространстве C';,(R+) для почти всех £ fix.
Доказательство теоремы 2.1 опирается на следующую теорему, которая является аналогом теоремы 1 (см. [6], стр. 522).
Пусть X(f) £ Cb(R+), m€NH0 = fo 1<г<т
т —> оо. Обозначим
Дт(Х) = sup sup |X(f')-X(f)|.
l Теорема 2.2. Пусть Xn(f), f £ R+, n £ N — случайные процессы, реализации которых с вероятностью 1 принадлежат пространству Cj(R+)
1) конечномерные распределения процессов Хп сходятся к
конечномерным распрделениям процесса X,
2) для любого 6 > 0 Ji^TIrn Р (Am(X„(f)) > 5} = О,
3) для любого S > 0 Р jsup |Xn(f) - X„(fra)| > 6j = О,
то Хп —-4 X при я -400 в пространстве Cj,(R+).