Асимптотика вероятностей больших выбросов гауссовских нестационарных процессов

• Автор: Аншин, Антон Борисович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

1 ГЛАВА. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОВРЕМЕННЫХ ЭКСТРЕМУМОВ ДВУХ ГАУССОВСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1 Формулировка основных результатов
1.2 Вспомогательные результаты
1.3 Доказательство вспомогательных результатов
1.4 Доказательство основных результатов
1.5 Примеры
2 ГЛАВА. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ДВОЙНОГО ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ГАУССОВСКОГО
НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ
2.1 Формулировка основных результатов
2.2 Вспомогательные результаты
2.3 Доказательство вспомогательных результатов
2.1 Доказательство основных результатов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гауссовские случайные процессы представляют собой один из важнейших классов случайных процессов. Их привлекательность состоит в том, что результаты могут быть сформулированы в терминах естественных характеристик -среднего и ковариационной функции. В последние десятилетия значительные успехи достигнуты в изучении распределения супремума траекторий, в предельных теоремах, в изучении свойств регулярности траекторий гауссовских функций и задачах пересечения уровня.
Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств больших уклонений для гауссовских нестационарных процессов и полей.
Эти работы берут начало с работ Д.Пикандса [46], [47]. Д.Пикандс первым предложил естественный и красивый метод вычисления точной асимптотики вероятности
при и —► оо для гауссовских стационарных процессов Х(4). Этот метод основан на принципе локализации, то есть выделения малого подмножества параметрического множества Т, которое вносит доминирующий вклад в асимптотику. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось, что в определенном смысле он является аналогом метода Лапласа и эта аналогия имеет два подтекста.
Первый состоит в том, что траектория гауссовского процесса превышает высокий уровень и, как правило, на одном бесконечно малом при и —* оо интервале.
Второй подтекст заключается в том, что вышеописанные множества малого диаметра, распределенные по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близкого к стационарному процесса, в нестационарном случае концентрируются вокруг множества точек, в которых достигается максимум дисперсии процесса X.
Позже в работах Питербарга В.И. [20], Ю.К.Беляева и В.И.Питербарга [2],
К.Кволса и Х.Ватанабе [49], [50] метод Пикандса был обобщен на случай гауссовских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.
Вместе с тем, в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и многих других областях помимо стационарных гауссовских процессов возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Бермап в [27]. В работе [18] В.И.Питербарг и А.П.Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного процесса (из уже изученного класса). В работе В.Р.Фаталова [22] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Я".
Среди других результатов в этом направлении можно отметить пуассоновс-кую предельную теорему для числа выходов гауссвского стационарного процесса за высокий уровень, полученную Ю.К.Беляевым [1] и Г.Крамером [33] а также предельную теорему для максимума гауссовской стационарной последовательности (С.Берман, [26]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (работы [2], [3], [4], [7], [48]).
Далее, в работах [10], [45] и [51] авторами получены точные формулы для вероятности пересечения границы гауссовскими стационарными процессами, где границы представляют собой нелинейные функции. В работах [45] и [51] для
2 ii
< const -vPle *7”,
для некоторого а значит можно выбрать Ti так, что приведенная выше вероятность будет сколь угодно мала по сравнению с
Р( max Xx(t) > и, max X2(s) > и).
te[Ti,T2J ^е[7з,Т4]
Аналогично доказывается, что условие Т3 > 0 в данном случае также избыточно.
2) Пусть Xi(t) = + t% X2(s) = B°/2(s) + Л, a [Ti,T2], T) > 0 - два случайных процесса, где S2(s) ' Два независимых
дробных броуновских движения, с параметрами Херста ат/2, а2/2 соответственно, £ - гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и
дисперсией <т2, о2 < - J— независимая с вышеупомянутыми дробными броунов
скими движениями. Найдем для этих процессов асимптотику вероятности одновременного экстремума, то есть асимптотику вероятности
Р( max Xi(t) > и, max X2(s) > ti) iem, r2] w selTi, T2) ’ '
при и —* oo. Также, как и в предыдущем примере, покажем, что эти процессы удовлетворяют условиям теоремы 1.1 ii).
A1 a2(t) = ta+№cr2, ff2(s) = sa+s2l3o2, r(t, s) = t^s^a2, при T > 0. Очевидно, что условие A1 выполнено.
A2' Функция D(t, s) в данном случае выглядит следующим образом:
tasa 2 tas20 + t20sa
’ S’~ ta + sa + O2{t0 - S0)2 + Первое и второе слагаемое в этой сумме можно оценить сверху функциями
г~ соответственно. Обе эти функции, в чем легко убедиться, имеют положительные первые производные по обоим аргументам, а значит они обе принимают свое максимальное значение в точке (Т2, Т2), а поскольку в этой точке функция D(t, s) совпадает со своей оценкой сверху, то и у функции D(t, s) максимум в