Уравнения среднего магнитного поля с учетом флуктуаций крупномасштабной скорости

• Автор: Томин, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Уравнение среднего магнитного поля для случайного поля скорости
2.1 Уравнение магнитной индукции
2.2 Течение без диффузии для детерминированного поля скорости
2.3 Течение с диффузией для детерминированного поля скорости
2.4 Понятие рандомизированного короткокоррелированного поля скорости
2.5 Уравнение среднего магнитного поля для рандомизированного короткокоррелированного поля скорости
2.6 Крупномасштабное динамо в РКПС
3 Применение к АВС-потоку, потоку Г. Робертса и винтовому цилиндрическому потоку. Динамо и а-эффект
•3.1 Вычисление коэффициентов уравнения среднего ноля в матричной форме
3.2 Уравнение среднего поля для случайного уШС-потока
3.3 Динамо в случайном АВС-потоке
3.4 Уравнение среднего поля для случайного потока Г. Робертса
3.5 Динамо в случайном потоке Г. Робертса
3.6 Уравнение магнитной индукции в цилиндрических координатах
3.7 Уравнение среднего поля для случайного винтового цилиндрического потока
3.8 Статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности и а-эффект
4 Приложение. Некоторые сведения из теории мультипликативных интегралов
Список литературы

1 Введение
Объект исследования и актуальность темы
Многие астрофизические объекты (галактики, звезды, планеты) обладают собственными крупномасштабными магнитными полями. Происхождение, сохранение и эволюция этих полей составляют один из основных вопросов космологии. Время существования многих космических объектов существенно превышает характерное время затухания собственных магнитных полей. Поэтому существование глобальных магнитных полей у таких объектов требует объяснения. Считается, что крупномасштабные магнитные поля небесных тел, в том числе Солнца и галактик, обязаны своим происхождением работе механизма гидромагнитного динамо. Идея магнитного динамо принадлежит Лар-мору [38] и состоит в том. что изначально слабое начальное магнитное поле может экспоненциально усиливаться при отсутствии внешних ЭДС за счет частичного превращения кинетической энергии движущейся электропроводящей жидкости в энергию магнитного поля. Эволюция магнитного поля в объеме движущейся электропроводящей жидкости описывается уравнением магнитной индукции, являющимся линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных (УЧП) второго порядка, имеющим параболический тип; переменные коэффициенты этого уравнения полностью определяются заданием векторного поля скорости V(x, i) жидкости. Ввиду однородности уравнения для возникновения и развития магнитного динамо необходимо наличие ненулевого начального (затравочного) магнитного поля, которое может быть весьма слабым. Превращение этого поля в сильное благодаря магнитному динамо, таким образом, связано с вопросами неустойчивости нулевого решения уравнения магнитной индукции. В случае стационарного поля скорости V(x) при данном коэффициенте ит магнитной индукции движущейся среды магнитное динамо связано со спектром оператора магнитной индукции, и возникает в случае, когда наибольшая вещественная часть собственного числа этого оператора положительна.
Большую роль для генерации магнитного поля играет геометрическая (топологнче-

ская) структура поля скорости. Например, согласно теореме Каулинга ([31], [16]) для осесимметричного потока невозможно магнитное динамо с той же осыо магнитного поля. Также магнитное динамо не возникает для сферичсски-симмстричного поля([29]), для плоского (двумерного) ноля скорости ([11], [12], [13]) и для тороидального поля скорости. Идея Паркера о возможности возникновения магнитного динамо в турбулентном потоке электропроводящей жидкости с полем скорости, обладающим ненулевой спиральностью и не имеющем отражательной симметрии, привела к дальнейшему развитию теории магнитного динамо и послужила основой для создания теории магнитной гидродинамики средних полей [23], [22], [7], [41]. [28]. При этом наиболее интересным и важным в космической физике является случай малых коэффициентов магнитной индукции ит или, что то же самое, больших магнитных чисел Рейнольдса і?„,. Особую роль играет так называемое быстрое динамо, то есть динамо, не исчезающее в пределе Vт * 0 {Нт ~* °°)-
Возможно несколько различных путей реализации механизма магнитного динамо. Из них наибольшее практическое значение имеет путь, основанный на так называемом о-эффекге, суть которого состоит в том, что во вращающейся турбулентности или конвекции происходит своеобразное нарушение отражательной (зеркальной) симметрии, так что в результате действия силы Кориолиса среднее число правовратцающихся вихрей оказывается отличным от среднего числа левовращающихся вихрей. В результате этого в выражении для средней электродвижущей силы индукции (с которой связан электрический ток) появляется член, параллельный магнитному полю. Напомним, что обычно электрический ток перпендикулярен магнитному полю. В результате действия а-эффекта в течении электропроводящей жидкости возникает магнитное поле, пространственный масштаб которого может намного превосходить основной масштаб турбулентности. Именно такое магнитное поле в физике обычно и называют крупномасштабным
Это описание а-эффекта требует последовательной интерпретации турбулентности как случайного статистически локально однородного и изотропного поля. Со време-

1/3 < 7 < 1/2 и функцию в квадратных скобках рассматривать в точке (х, £). а слагаемое 0((Л)3">) заменить на о(Д£). Отсюда, учитывая равенство
Нх, £ + Д£) — Н,(х. £) Нг(хЛ) — Нг(х,Ь — Д£)
Д(—о 2£ Да—*-ьо Д£
находим
Ш» Я'(Х-( + Л/),-Н'(Х-‘) = - V-.fl + ,„ЛЯ„ (2.3.22)
Д1->-о Д£ <9.?;., от*.
где правая часть рассматривается в точке (х, £).
Из (2.3.20) и (2.-3.22) следует, что в точке (х.£) выполняется равенство (2.1.4):
к-дУи _идН' . ли дг ~ дх} 3 кдхк +Щп Ни
Ввиду того, что (х, £) — произвольная точка области К3 х (0: +оо) пространства М4, Н(х. £) из (2.3.3) является решением уравнения магнитной индукции (2.1.2) в этой области.
Замечание. Пусть {с„}10 — ограниченная последовательность вещественных чисел и 0 = то < 71 < < тп < —> +схз. Построим по гладкому полю скорости У(х, £) кусочно-гладкое поле скорости У‘(х, £) по следующему правилу: для любого п — 0,1,2
2.4 Понятие рандомизированного короткокоррелированного поля скорости.
Пусть 771 — натуральное число. Будем говорить, что в пространстве задано рандомизированное короткокоррелировапное поле скорости (кратко РКПС) (V, А. р) порядка т. если заданы три матрицы V, Л,р с описанными ниже свойствами.