Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов.

• Автор: Шапошников, Станислав Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 196 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Нижние оценки плотности стационарного
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Введение
1.2. Априорные оценки
1.3. Нижние оценки плотности
Глава 2. Единственность вероятностного
и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова
2.1. Введение
2.2. Вспомогательные леммы
2.3. Единственность интегрируемого и вероятностного решения
2.4. Случай градиентного сноса
Глава 3. Локальная регулярность и верхние оценки
плотностей переходных вероятностей
3.1. Введение
3.2. Априорные оценки с функцией Ляпунова
3.3. Локальная регулярность и верхние оценки
3.4. Верхние оценки решения задачи Коши
3.5. Квадратичная интегрируемость логарифмической производной решения
Глава 4. Нижние оценки плотностей переходных
вероятностей
4.1. Введение

4.2. Неравенство Харнака
4.3. Неограниченный коэффициент сноса.
Вывод основной оценки
4.4. Положительность и нижние оценки плотности
Глава 5. Единственность вероятностного
И ИНТЕГРИРУЕМОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
Фоккера-Планка-Колмогорова
5.1. Введение
5.2. Примеры неединственности
5.3. Единственность вероятностного решения
5.4. Доказательство основной леммы
5.5. Единственность интегрируемого решения
5.0. Доказательство вспомогательных лемм
Литература

Введение
Общая характеристика работы Актуальность темы. Пусть х( - диффузионный процесс с производящим оператором Ь, заданным формулой
Хорошо известно,что переходные вероятности P{x,t,s,U) удовлетворяют уравнению Фокксра-Плапка-Колмогорова dtP = L*P, где L* - формально сопряженный оператор к L. Болес того, если д - инвариантная мера процесса щ то д удовлетворяет статщонарному уравнению Колмогорова L* ц = 0. Исследование таких уравнений восходит к классическим работам А.Н. Колмогорова1,2, в которых выводятся и исследуются дифференциальные уравнения для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов как в так и в компактном многообразии (современное изложение см., например, в книге3). Однако в этих работах коэффициенты предполагались гладкими и глобально ограниченными. Достаточные условия существования диффузионного процесса eiS случае неограниченных локально липшицевых коэффициентов получены в работе Р.З. Хасьминского4, в которой также указаны достаточные условия существования стационарного распределения. В работе Д. Струка и С.Р. Варадана0 изучаются глубокие связи между уравнениями Фоккера-Планка-Колмогорова и мартипгаль-ными задачами. В теории дифференциальных уравнений с частными
Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1038, т. о, с. 5-41.
2Kolmogoroff A.N. Zur Umkehrbarkeit der statistischen Natmgesetze. Math. Ann., 1937, B. 113, S. 766-772; русский пер.: Колмогоров А.Н. Об обратимости статистических законов природы. Теория вероятностей и математическая статистика (сб. статей), Наука, М., 1986.
3Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.
'Хасьминский Р.З. Эргодическис свойства рекуррентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примен., I960, т. о, с. 179-196.
5Stroock D.W.. Varadhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes. Springer-Verlag, Berlin - New

York, 1979.

Однако такой подход невозможен в том случае, когда коэффициент сноса Ь локально не интегрируем относительно меры Лебега или нет оценки роста Ь(х) при |ж| —» +со. Одним из возможных способов исследования стационарного уравнения Колмогорова с сингулярным коэффициентом сноса является замена меры Лебега на меру ц, т. с. условие интегрируемости Ь относительно меры Лебега заменяем на условие интегрируемости Ь относительно самого решения р. Условия интегрируемости подходящей функции Ф относительно решения р стационарного уравнения Колмогорова естественным образом появляются в теории диффузионных процессов и формулируются в виде конечности величины ЕФ(а^), где Хг - диффузионный процесс с соответствующим генератором. Для переформулировки этого условия в терминах коэффициентов оператора С используются априорные оценки с функцией Ляпунова. Отмстим, что необходимость исследования свойств решений стационарного уравнения Колмогорова при условии регулярности коэффициентов относительно самого решения р появляется также при рассмотрении бесконечномерных диффузий (см. работы [39], [47], [48], [49], [10], [6] и пример (1.3.4) в конце главы).
В работе [45] показано, что, если в дополнение к люловию (С1) вместо условия Ьг Е 1^0С(М ) потребовать включения Ъг Е Дг’ос (/./.), то Р' также задается непрерывной плотностью д Е В дальнейшем мы будем
работать именно с такой версией плотности д.
Следующий пример показывает, что даже в случае когда Ьг Е Ьр(р) для всякого р > 1, плотность д может иметь нули и, следовательно, неравенство Харнака не выполняется. Пусть с1 = 1 и
д(х) = сех 2 х', £>(0) = 0,
где с - такая нормирующая константа, что д является вероятностной плотностью. Положим
, , д'(х)
Кх) = -рг = — - 2х. д(х) хл
Легко проверить, что мера р = дс1х удовлетворяет уравнению (1.1.1) с