Законы больших чисел в современных стохастических моделях

• Автор: Яськов, Павел Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введение

Благодарности

1 Закон больших чисел для классической

схемы суммирования

1.1 Случайные последовательности

Максимальные неравенства для частичных сумм

Усиленный закон больших чисел

Оптимальность предложенных условий

1.2 Случайные поля

Максимальные неравенства

Обобщение теоремы Меныпова-Радемахера
2 Закон больших чисел для дискретных интегралов
2.1 Оценки норм дискретных интегралов и
их следствия
Основное неравенство
Существование стохастического интеграла
Частные случаи
2.2 Вариант закона больших чисел
Законы больших чисел для мартингал-разностей

Закон больших чисел для дискретных интегралов
2.3 Применение к задаче оценки качества прогнозов
Постановка задачи
Основные предположения
Приближенное распределение основной статистики
Компьютерное моделирование
3 Закон больших чисел для общей модели эпидемий
3.1 Описание модели
3.2 Условия на параметры модели
3.3 Вспомогательные сведения и результаты
Пространство случайных мер
Определение предела среднего поля
3.4 Точность приближения в рамках модели эпидемий пределом
среднего поля

Список основных обозначений
Ж - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел;
N - множество натуральных чисел;
N0 = NU{0};
D - пространство Скорохода;
- «положим по определению»;

—> - сходимость по вероятности; d
—> - сходимость но распределению; d
= - равенство по распределению;
cov(£, г]) = Е(£ — Е£)(ц — Ег/)т для случайных матриц f, г/; log х = log2(.т V 2) для х > 0; х+ — х V 0 для xGi;
||f||p = (E|f|p)1/,p для случайной величины f с Е|£|р < оо;
Lp, р ^ 1 - пространство случайных величин с нормой || • ||р;
1 (В), 1 в - индикатор множества Б;
8Х - мера Дирака, сосредоточенная в точке х для положительных констант хп, уп. п ^ 1,
lim — < 00,
П-¥ оо уп
Йт — = 0,
п->оо уп
Хп тг— Хп 0 < hm — ^ lim — < 00,
п—>оо Уп п-Ьоо уп Хп

II о
. = о(уп)
Хп Уп УУ
Хп ~ Уп

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство теоремы состоит из двух шагов. Первый - это проверка того, что
|S2»,2n| < оо п.н., (1.2.8)

второй - вывод соотношения
Тп— max ISk — 52”-i| —» 0 п.н., п —> оо, (1.2.9)
г^к^ы-г

где Sk = X) оХ. Заметим, что из (1.2.8) следует существование преде-i=l
ла lim S2n_i п.н. Согласно теореме В.Леви сходимость )С E|S2n2n| ведет к
п-»оо п5,
(1.2.8). Полагая здесь и далее Cv =■ Y2 1/V(n) + 1) по неравенству Коншин О
БуНЯКОВСКОГО имеем
]TE|S2n,2n| = ]ГЕМп(0) ^ C^(j>(n))EM2(0))
11^:0 П^О П^О

Без ограничения общности считаем, что <р(х) ^ х2 V 1 при х € Ж+. Тогда, учитывая монотонность гг, применяя (1.2.1), (1.2.7) и утверждение 1.2.2, заключаем. что
< оо.
^<<р(п))ЕМ2(0) < ^(а2ЕХ2(1оёк>2 + 2"+1ИДк, 1)((1оёк))а2)
гЦгО к>
Как и в [62], для вывода (1.2.9) используем элементарную оценку вида

Т" < 13 13 (1-2Л°)
6б[ОД],5/От=5п
Фиксируем произвольное 5 6 [0,1], 6^0. Положим £ = 1 — 5. Имеем

X) мт(5) < £ мт+6п(5) = гп(ь).
т=5п т^О, 5т—О
Вследствие неравенства Коши-Буняковского, ЕАП(5)2 ^ С'^ Л„(6). где Л"(б) = 13 <^(т))ЕМ1П+бп(6)2.
т>0,6т=