Предельные теоремы для подчиненных процессов

• Автор: Гирайтис, Людас Людович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Вильнюс
• Количество страниц: 143 c. : ил

Глава I. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ПОДЧИНЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

§ I. Подчиненные случайные процессы и их представление с помощью кратных стохастических интегралов

§ 2. Семиинварианты кратных стохастических интегралов

§ 3. Полиномы Аппеля и их семиинварианты

§ 4. Ц.п.т. для подчиненных процессов (общий случай)

§ 5. Ц.п.т. для подчиненных процессов, являющихся функциями от линейного процесса

§ 6. Нецентральные предельные теоремы

§ 7. Н/ц.п.т. для конечных преобразований

Фурье

Глава II. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ К.С.И. К СТАТИСТИКЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 8. Оценки спектра подчиненных процессов

§ 9. К.с.и. и симметрические статистики
ЛИТЕРАТУРА

В диссертационной работе рассматриваются предельные теоремы для зависимых случайных величин, представимых в виде кратных стохастических интегралов (к.с.и.)* К.с.и. широко используются для исследования случайных процессов, являющихся (нелинейными) функционалами от независимых случайных величин (в частности, гауссовских). Такие функционалы часто встречаются в математической физике, радиотехнике, статистике случайных процессов и других областях. Приведем два примера.
Дример_1_:> Пусть ^4.,^,... “ независимые случайные величины с общей функцией распределения Р (X) ; р£(.>0
~лг-п. - эмпирическая функция распределе-

ния. Многие вопросы статистики входят в класс статистик фон Мизеса [50]:
^ - =-=>
Известно, что предельное распределение нормированных статистик (0.1) совпадает с распределением к.с.и. по гауссовой случайной мере (см. подробнее [50, 36, 51, 44]).
Приме_р_2^ В (евклидовой) квантовой теории поля основной объект исследования - это случайные поля, являющиеся возмущением "свободного поля", т.е. гауссовского случайного поля X (А") со спектральной плотностью (4 + 1Лг)~4 >

&(Я. . Возмущение "свободного поля" определяется с помощью замены меры, соответствующей аддитивному функционалу [ : Х*Ш : сИ: ,где
:ХКЪСО: (0.2)
- к.с.и. (^ъ -ая "степень Вика" поля X С-Ь)) > 2Хс(А)- случайная спектральная мера стационарного поля Х(-Ь) (см. [24]).
Ряд примеров использования к.с.и. можно найти в теории ренорм-группы и автомодельных распределений [27 , 32~[, статистической турбулентности [22] и других областях физики.
Основными результатами диссертации являются:
1. Центральная предельная теорема (ц.п.т.) для (стационарных процессов, порожденных независимыми случайными величинами, при условиях на весовые функции разложения в ряд по к.с.
и. (теоремы 4.1, 4.2);
2. Ц.п.т. для функционалов ^ } {: е Ц вида
от линейного (в частности, гауссовского) процесса К). >
при условиях на корреляционную функцию процесса ^ (теоремы 5.1-5.4).
Кроме того, в диссертации доказан ряд нецентральных^ предельных теорем (н/ц.п.т.), обобщающих и развивающих результаты Розенблатта, Добрушина, Майора, Такку, Городецкого, Филипповой и др. авторов, в частности, предельная теорема для симх)Следуя [ЗЗ], этот термин будем применять к предельным теоремам о сходимости к негауссовским процессам.

казана ц.п.т. для подчиненных процессов, которую приводим нике в несколько частном виде.
Теорема 4-.5 (Ибрагимов). Предположим, что (стационарны^) процесс еудовлетворяет условиям

2= Е4Л(п0-Е(» 1^ |*иа))а<вв (4>7)
уг= 1 1
Ц_ Ъ С-Ь.) = СГ2 > О , (4.8)
-Ь "
где 7^(-Ь) " корреляционная функция процесса . Тогда
N ~/1/2- ^]Г СО, 'Т'2’) ,
Имеет место следующая
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия теоремы 4.3. Тогда процесс удовлетворяет также условиям теорем 4.1 и 4.2.
Оставшаяся часть раздела посвящена доказательствам теорем 4.1, 4.2 и 4.4.
2ока^ательство_тео]эемы_4Л- Достаточно показать, что при всех т >/ 0 , 0 ^ С ... < "Ьо. <• с>0, > аг
. л 'Ь
семиинварианты порядка ^>3 величин У
<}=! > &
стремятся к нулю, когда КМ о^. Ограничимся доказательством этого факта для случая а =4,^ = 4 (общий случай рассматривается аналогично)^
^ЙЭто замечание относится также к доказательству теоремы 4.2.