О статистическом оценивании плотности распределения сплайн функциями

• Автор: Муминов, Махаммаджон Саминович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 112 c. : ил

Введение • •••••••••.••••••
§ I. О построении сплайн оценок для неизвестных
плотностей вероятностей
§ 2. Некоторые вспомогательные результаты • • • •
§ 3. Сильная состоятельность сплайн оценок в
равномерной метрике
§4. Экспоненциальные оценки для распределений
сплайн оценок
§ 5. Предельное распределение глобального
отклонения сплайн оценок плотности распределения
§6. Скорость сходимости распределения глобального отклонения.сплайн оценок к предельному закону;. ••••
§7. Предельное распределение максимального
уклонения сплайн оценок •
Литература
Теория непараметрического оценивания является одним из интенсивно развивающихся разделов математической статистики. Непараметрические методы определяются как методы, не подразумевающие знания функционального вида генеральных распределений, из которых извлечена выборка. К проблемам непараметрического оценивания относятся задачи оценивания функциональных характеристик закона распределения наблюдений. В частности, в последнее время возрастает интерес к задачам оценивания плотности вероятности.
В построении различных эмпирических характеристик случайных величин, в статистическом анализе оценок различных функционалов от плотности вероятностей til » 171 , £171 (информационное количество Фишера, энтропия, функция опасности отказа и функция надёжности в теории массового обслуживания, оценка кривой регрессии и т.д.) пользуются оценками плотности вероятностей.
Отметим, что первые результаты в этом направлении принадлежат В.И.Гливенко 161 и Н.В.Смирнову £291 » которые в качестве оценки неизвестной плотности вероятности рассматривали гистограмму. В.И.Гливенко £61 установил почти наверное равномерную сходимость гистограммы к непрерывной плотности вероятности, Н.В.Смирнов £301 » получил предельный закон распределения для максимума абсолютной величины нормированного уклонения гистограммы от теоретической гладкой плотности. Дальнейшему обобщению результатов Н.В.Смирнова £301 посвящена работа С.X.Туманяна £321 •
- В последующем новый класс оценок, обобщающий гистограмму,

был введён в работах Н.Н.Ченцова [37], [38] , М.Розенблатта ^551 и Е.Парзена
Пусть -последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с плотностью распределения относительно мер! Лебега. Один класс
оценок для неизвестной плотности вероятности :?('*) , называемых "ядерными", был предложен Ы.Роэенблаттом в 1956 году и Е.Парзеном в 1962 году. Класс оценок Розенблатта-Парзена имеет вид
[ = 1 '

-функция, удовлетворяющая
^УУ1 г 0 , а КЬО
П-'ЭОа
некоторым условиям регулярности. М.Розенблатт ^551 исследовал асимптотику средней квадратической ошибки
Г.Мания ^19"! обобщил результат Розенблатта на многомерный случай. Е.Парзен [53] продолжил изучение оценок вида (I).
Он доказал асимптотическую несмещённость и асимптотическую нормальность таких оценок. Е.Парзен получил асимптотическое выражение для смещения и среднеквадратического отклонения. Впоследствии внимание многих авторов привлекло исследование различных функциональных характеристик оценки (I). (см.,на-пример,1241 , 1561 , 1411 , 1121 - 1141 , 191 , 1101 , 131 , 120] , 151] ).
Н.Н.Ченцов в 1962 году предложил класс оценок, названных им проекционными. Основная идея его подхода состоит в аппроксимации неизвестной плотности (некоторым

гДе Ы*М- ЪоЬч'и'Ь
Доказательство. Формула (4) верна, когда 0 < Т * ^ 4 • Поэтому согласно (3)

М^ ^М&Д'и.'ОамФс* ОМ*

й!д иЫ СХМсЬ
М ВДс1х
(5)
\-Л
Оценим второе слагаемое в (5)
М(= м(Д Ч*чоч^с(.х

: т М \^лНиЦГЫп аМ41'
Ь V “ V» I

а(х)о1х
"VII н(озДРМ^ДП^

Г- о м

(оО оЦтО г.