Стохастические интегралы и асимптотический анализ канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям

• Автор: Быстров, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 63 с.

ГЛАВА 1. Стохастический интеграл от неслучайных ядер по неортогональным стохастическим мерам
§ 1. Конструкция стохастического интеграла
§ 2. Инфинитезимальный анализ ковариационной меры
2.1. Процессы с регулярной ковариационной функцией
2.2. Процессы с факторизующейся ковариационной функцией
2.3. Процессы с ковариационными функциями смешанного типа
2.4. Мажорируемые ковариационные меры
2.6. Построение кратного стохастического интеграла по приращениям негауссовского процесса
§ 3. Доказательство основных результатов
3.1. Доказательство предложения
3.2. Доказательство предложения
3.3. Доказательство предложения
3.4. Доказательство теоремы
3.5. Доказательство предложения
3.6. Доказательство предложения
3.7. Доказательство предложения
ГЛАВА 2. Асимптотический анализ канонических статистик Мизеса, построенных по слабо зависимым наблюдениям
§ 1. Введение и формулировка основных результатов
§ 2. Моментные неравенства
§ 3. Доказательство теоремы
Список литературы

В диссертации предложена схема построения стохастических интегралов от неслучайных функций по неортогональным стохастическим мерам. Эта конструкция позволяет описывать предельные распределения для канонических (вырожденных) статистик Мизеса произвольной размерности, построенных по слабо зависимым стационарно связанным наблюдениям.
При изучении случайных процессов, а также при описании некоторых распределений, возникающих в тех или иных приложениях стохастического анализа (например, в статистике) важную роль играют интегралы, записываемые в виде / /(4)й£(4) или //($! *п)^?(*1)... Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер [35]. Основанное на технике гильбертовых пространств построение интегралов от неслучайных функций по стохастическим мерам, порожденным случайными процессами с ортогональными приращениями, независимо предложено в 1940 г. А. Н. Колмогоровым [9] и Г. Крамером [21]. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер [36] и К. Ито [28] (классический кратный интеграл Винера-Ито). Отметим также посвященную кратным интегралам Винера-Ито монографию П. Майора [29]. Схема построения абстрактного стохастического интеграла от неслучайной функции по ортогональным элементарным стохастическим мерам, заданным на произвольных измеримых пространствах, подробно изложена в монографии И. Гихмана и А. Скорохода [8].
Один из первых результатов, касающихся интегрирования по неортогональным
мерам, содержится в известной монографии М. Лоэва [12], где предложена конструкция стохастического интеграла Римана по приращениям произвольного гильбертова (т. е. с конечными вторыми моментами сечений) процесса на отрезке прямой. Кратный стохастический интеграл по приращениям броуновского моста, по-видимому, впервые изучался в работе А. А. Филипповой [14] при исследовании предельного поведения функционалов (статистик) Мизеса. Однако с помощью известного представления броуновского моста этот интеграл можно легко свести к аналогичному кратному стохастическому интегралу по приращениям винеровского процесса. Тем не менее, отметим, что метод работы [14] существенно отличается от классического построения интеграла Винера-Ито. В частности, в конструкции А. А. Филипповой стохастический интеграл зависит от значений ядра на диагональных подпространствах области интегрирования, чего нет в конструкции Винера-Ито. В работе С. Камбаниса и С. Т. Хуанга [20] была рассмотрена схема построения кратного стохастического интеграла по приращениям произвольного гауссовского процесса. При этом использовался математический аппарат тензорных произведений некоторых евклидовых ядерных пространств, построенных по исходному гауссовскому процессу. Однако при таком задании кратного стохастического интеграла остается невыясненным вопрос касательно его стохастической непрерывности на пространстве ядер, снабженном удобной для анализа топологией. Именно это свойство является ключевым при доказательстве предельных теорем для статистик Мизеса.
Условия, обеспечивающие корректное задание интегралов в этих работах, сводятся к проверке конечности некоторых детерминированных кратных интегралов по специальным мерам, построенным с помощью ковариационной функции интегрирующего случайного процесса. Причем даже в простейших случаях структура этой меры может оказаться весьма непростой, и проверка упомянутых условий может представлять собой отдельную проблему. В этом смысле весьма показательна работа А. Дасгупты и Г. Каллианпура [22], где как раз и “расшифровываются” условия Камбаниса-Хуанга в случае, когда интегрирующий процесс в конструкции кратного стохастического интеграла представляет собой регулярное фрактальное броуновское
Лемма 3. Пусть Як < ... < д3 - произвольные натуральные числа. Рассмотрим произвольные в наборов измеримых подмноэюеств единичного отрезка: {А^,...АЧ1}, ...,{Л9>_1+1, ...Ад,}, где внутри каэ/сдого набора множества А, попарно несовместны. Обозначим
Тогда для любых натуральных к < ... <к3 и имеет место оценка
где постоянная С(-) зависит только от указанных аргументов.
Доказательство. В силу (33) имеем Е|^| < {іі-Ці-і + 1)Р(Л9і _1+1)...Р(Л„). Очевидно, случайные величины икі удовлетворяют условиям ^-перемешивания. Поэтому, применяя (32), получаем:
ЕК-»'/ь,| < П(1 + ^ " *ч))ЕК1-ЕК1 < С(ф(1),з,Яя)Р(А1)...Р{АЧі).
Лемма доказана.
Ключевой момент в доказательстве теоремы 2 это оценки смешанных моментов вида Е5п(Л1)...5п(Л2й), полученные в нижеследующей лемме.
Лемма 4. Пусть (1 - произвольное натуральное число, 1 1Ч - набор натуральных чисел таких, что 1 + ... + 1Ч = 2(1, <1 > 2, а А1 АЧ - попарно несовместные измеримые подмножества отрезка [0,1]. Пусть, к тому же, выполнено условие II. Тогда имеет место оценка
Енк1..мкш < Ст),з,Яз)Р(А,)...Р(Ад,)
(34)

|е#(л,)...#(л,)| < скф(й))р(л1)...е(Л),
(35)
где постоянная С(-) зависит только от указанных аргументов.
Доказательство. Мы начнем со следующей простой оценки:
<1<П