Исследование флуктуаций сумм независимых мультииндексированных случайных величин

• Автор: Дильман, Степан Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

1 Универсальные нормировки в законах повторного логарифма

1.1 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виитнера. Формулировка результатов
1.2 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Винтнера. Доказательства
1.3 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов

2 Некоторые обобщения теоремы Баума-Каца

2.1 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-декенрованных случайных величин. Введение и формулировки результатов

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дсксированных случайных величин. Доказательства
2.4 Обобщение теоремы Баума - Каца для мультшшдексиро-ванных случайных величин на случай неполиномиальных весов

Основные обозначения

Список литературы

Исследования асимптотических свойств частичных сумм, построенных по семейству независимых случайных величин, относятся к классическому ядру современной теории вероятностей. В разное время в этом направлении работали Э.Борель, Г.Харди, Д.Литтлвуд, Г.Штейнгауз,
A.Я.Хиичин, С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, П.Леви,
B.Феллер, Ю.В.Прохоров, A.A.Боровков, А.В.Скороход, В.Штрассен, И.А.Ибрагимов, В.М.Золотарев, В.В.Петров и многие другие выдающиеся ученые. Обзор результатов этой области представлен, например, в известных книгах В.В.Петрова ([20]), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника ([16]), Д.Хошневисана ([60]).
Одним из наиболее ярких результатов, описывающих флуктуации сумм независимых слагаемых, является закон повторного логарифма, установленный А.Я.Хпнчиным в 1924 году ([59]). Можно сказать, что был сделан новый шаг в уточнении усиленного закона больших чисел. Следует также отметить подход к оценке асимптотического поведения частичных сумм, основанный па изучении вероятностей, с которыми эти суммы превышают определенные уровни. Заметную роль здесь играет классическая теорема Баума - Каца ([31]), выявляющая связь между запасом абсолютных моментов слагаемых и скоростью сходимости в законе больших чисел. Эти результаты стали источником различных обобщений, в том числе на случай зависимых слагаемых и схем, более сложных, чем последовательность случайных величин. Достаточно упомянуть работы М.И.Гордина, А.Ю.Зайцева, М.Иосифеску,
В.М.Круглова, В.Ю.Королева, Ю.С.Хохлова, М.Талаграна, М.Леду,

В.Филнппа, В.Стаута, Й.-Ч.Ки, М.Чёргё и других исследователей. Среди многочисленных результатов выделим работы А.В.Булинского, М.А.Лифшица, А.И.Мартикайпепа, К.Хсйде,
В.А.Егорова, О.И.Клесова, А.Д.Розальского, А.Бовьера, П.Пикко, Л.Чаига, инициировавшие исследования, проведенные в диссертации.
Обратимся к истории вопроса. В 1913 году, исследуя разложение чисел в промежутке от нуля до единицы в бесконечную двоичную дробь, Хаусдорф доказал, что для любого положительного е > 0 для почти всех чисел из этого промежутка
Sn - п/2 = о(п1/,2+г)
при п —+ оо, где Sn обозначает сумму первых п знаков после запятой в двоичном разложении числа. Позднее, в 1914 году, эта оценка была улучшена Харди и Литтлвудом, а именно, им удалось доказать, что для почти всех действительных чисел от нуля до единицы
Sn - n/2 = 0((nlogn)1/2)
при п —у оо (всюду в работе log означает логарифм по основанию е). Затем, в 1922 году, исследуя уже последовательности независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, Штейнгауз установил, что
limsup —-г ^'1 < 1/2 п.п.,
ті—>00 /2nogn
где Sn обозначает сумму первых п случайных величин последовательности, а "п.и." здесь и всюду в дальнейшем означает "почти наверное", то есть с вероятностью единица. После этого А.Я.Хинчин, в 1923 году, впервые получил оценку скорости роста таких частичных сумм, использующую повторный логарифм. А именно, им было установлено, что с вероятностью единица последовательность независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, подчиняется соотношению
Sn = 0((n log log n)1/2).

Лемма 2.2.3. Пусть ш - произвольный элемент решетки Nd, a a, v и b - вектора из для которых справедливы соотношения а > О, v > О, b = v/a и (2.1.6) для некоторого целого к > 0. Тогда
,. Tdw(t)tb“
<-> о+ |logi|fc
Доказательство леммы 2.2.3. Рассмотрим случай bi = ■ ■ ■ — bj. Тогда к = d—1. Заметим, что для каждого s > 0 можно выбрать с 6 N так, чтобы для всех натуральных z > с zj > с были справедливы неравенства
РОС Г ос
(1 + е) / ... (xv_1)P(|yV| > t(x&))dx
Jzi J Zd
> X^(nv-1)P(|Af| > f(n*))
n>z
poo poo
>(l-£)/ ... (xv_1)P(|/V| >
Jzi+l Jzd+1
Потребуем также чтобы выбранное с превосходило тах;б11Дт,;} и представим множество {n G Nd, п > ш} в виде объединения непересе-кающихся частей Д, D Д/, где
Д = {п : п > ш; щ < с}, Д = {n : п > ш; щ > с, < с}
Dj = {п : п > m;ni > с,П2 > с,... ,nd < с}, D0 = {п : п > с}.
Из леммы 2.2.2 для достаточно больших с имеем
tl>Z
< (1 +,£Ad'’b = (1 + e)Bd.,m.a,ь, (2.2.6)
(a)
liminf f ,, -л, n Y^Wl > W) I
f-°+ ^|iog*|(«M)£^ ; V n)