Асимптотическое поведение неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайным коэффициентом сноса

• Автор: Диало, Мамаду Альфа
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: 0
• Количество страниц: 119 c. : ил

Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИ! ДШФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СНОСА ВИДА С1 С*) + 3ДО)

§ I. Асимптотическое поведение £, (£) в случае,

когда ,У1 1Л) является винеровским процессом

§ 2. Поведение решений £, (А) в случае .когда

цвляется диффузионным процессом

§ 3. Примеры

Глава 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СНОСА ВИДА сцх)

§ I. Асимптотическое поведение ^ (А) в

случае, когда является диффузионным

процессом
§ 2. Асимптотическое поведение £, (А) в
случае неотрицательного коэффициента сноса
§ 3. Асимптотическое поведение I
§ 4. Асимптотическое поведение | £, (А)[ В
случае эргодичности решения *£(А)
ЛИТЕРАТУРА

Предельные теоремы для случайных функций являются одной из основных частей теории вероятностей и математической статистики. В настоящее время с увеличением интереса к теории случайных процессов важную роль играет решение задачи о поведении процесса при t -> öo . Одним из наиболее эффективных приемов исследования в современной теории случайных процессов являются стохастическиё интегралы и основанные на них стохастические дифференциальные уравнения.
Теория стохастических дифференциальных уравнений была создана в конце 40-х годов Ито К. [69], [ТО]. [71] и Гихманом И.И. 18].[9] независимо друг от друга, на основе идей Берштейна [2] и Винера [84], [85].
Основные результаты исследования стохастических дифференциальных уравнении изложены в ряде монографий [13], [14], [Г7], [18], [20], [22], [41], [48], [49] и работ [б], [71, [37] , [44], [45] ,
[50], [51].
Основными элементами теории стохастических дифференциальных уравнений являются вопросы о существовании и единственности слабых и сильных решений в конечномерном эвклидовом пространстве [хэ], [54]
[58], [83], [88], а также в банаховом и гильбертовом пространствах
[59], [бб] , [68]; о единственности по траекториям [5б], [72], [ТЗ] , [76], [81] ( о продолжении и сравнении решений [72], [78], [87]
Процесс исследования этих вопросов закономерно привел к применению мартингальных подходов, ставших действительным средством изучения стохастических дифференциальных уравнений [б], [зо], [бз], [75] . Не менее важным методом является изучение стохастических дифференциа -льных уравнений с помощью обыкновенных уравнений в частных производных [I], [4] , [id], [2l], [5l], [60], [во], которые встречаются во многих разделах теоретической физики, задачах автоматического управ-

ления, радиотехники и механики [46], [55] , [57], [61], [62], [74], [79], [89] • Существуют и другие методы исследования, но спектр их применения значительно уже: методы Метивье и Рунге Кутта, используемые только для численного построения решений стохастических дифференциальных уравнений [67], [82] *
Вопросы об асимптотическом поведении решения стохастического дифференциального уравнения, имеющие в настоящее время важное значение, возникли при доказательстве теорем об ограниченности и неограниченности решений уравнений данного вида [12]• В связи с этими предложениями появился интерес к задачам об устойчивости [42], [53], [64], эргодичности [12], [52] и о точном росте решений стохастических дифференциальных уравнений [65] •
Последовательная разработка вопроса об асимптотическом при оо поведении неустойчивых решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений оусуществлена Кулиничем Г.Л. во второй половине 60-х годов [23], [24], [25], [27], [28]. В дальнейшем им были разработаны вопросы об асимптотическом поведении распределений функционалов от диффузионного процесса [29], [31], [33] , об асимптотическом поведении модуля решения стохастического дифференциального уравнения в одномерном [Зб] и в многомерном пространствах [32], [Зб] , [38] , а также для уравнений со случайными коэффициентами [34]. Однако условия в терминах коэффициентов уравнения данного вида предопределяют, в конечном счете, исчезновение случайности в коэффициентах для предельного процесса 4 ("О при соответствующей нормировке.
Целью нашего исследования является изучение асимптотического при '['-*• со поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса при сохранении в пределе случайности в коэффициентах.

ет’{Н ^ я(ЧЧт^Чтй' =
о О
= Мт1й1щ5т))^ ^'1и,( ^ДОсЧ»))^и" М^т^в] .>
— о о
±7 М(Л) £
-е^С-0 =
* I
= Л.
£Чи)СЧ^
Л_ ^(АТ)
I УбчПбч!) ‘ Р” И т ^] {'№«» Из условия (%ц) и определения (к и р>г убеждаемся, что

| -|Чи] с1 и _ р. 14) —*> о
®1М ‘(^Ч)
Поэтому, для любого £>о существует такое Нь>о , что
-* О при | —> с»

Д £>М
м I шк С^> (йёга)а и - т
Следовательно,
£ е(Н|7^с«11)У1+иМ|1г“№1^(«1км£-‘