Многомерный непараметрический линейный регрессионный анализ

• Автор: Бусарова, Дарья Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

1 Робастное непараметрическое оценивание для задачи многомерной линейной регрессии

1.1 Оценки, основанные на выборочной медиане Оя

1.1.1 Определения

1.1.2 Асимптотические распределения оценок Вп ж Вп

1.1.3 Робастность и аффинная эквивариантность

оценок Вп и Вп

1.1.4 Доказательство состоятельности оценок Вп и Вп

1.1.5 Доказательство асимптотической нормальности оценок

Вп и Вп

1.1.6 Доказательство робастности оценок Вп ж Вп

1.1.7 Доказательство аффинной эквивариантности оценок Вп

и Вп
1.2 Оценки, основанные на "взвешенной"
выборочной медиане Оя
1.2.1 Определения
1.2.2 Асимптотические распределения оценок В'пж В'п
1.2.3 Робастность и аффинная эквивариантность
оценок В'п и В'п
1.2.4 Доказательство состоятельности оценок В'пи В'п
1.2.5 Доказательство асимптотической нормальности оценок

1.2.6 Доказательство робастности оценок В'пж В'п
1.2.7 Доказательство аффинной эквивариантности
оценок В'п и В'п

1.3 Асимптотическая эффективность и методы вычисления представленных оценок
1.3.1 Определения асимптотической эффективности
1.3.2 Пример подсчета асимптотической эффективности
1.3.3 Методы вычисления оценок
2 Проверка гипотез о матрице коэффициентов для задачи многомерной линейной регрессии
2.1 Основные определения и распределения статистик при нулевой гипотезе
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Определения статистик ТпшТ'пи их распределения при
нулевой гипотезе
2.1.3 Определения статистик фп и ф'п , их распределения при
нулевой гипотезе и аффинная инвариантность
2.1.4 Доказательства теорем разделов 2.1.2 и 2.1
2.2 Предельные распределения статистик критериев при альтернативах
2.2.1 Основные результаты
2.2.2 Эффективность по Питману
2.2.3 Пример подсчета эффективности по Питману
2.2.4 Доказательства теорем
Список литературы
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Непараметрические методы статистики - методы математической статистики, не предполагающие знания функционального вида генеральных распределений. Одна из задач многомерного непараметрического анализа - задача многомерной линейной регрессии:
Уг = в1 х{ + е{, г = 1,2 п,
где у, = (уц, 2/й, ■ ■ • , У-1Ч)Т И Хг = (хц, жй х(р)т, * = 1,2 п - значения отклика и фактора, случайные ошибки ец ег £п ~ независимые одинаково распределенные (у х 1)-векторы, £ = —ец; задача - оценить неизвестную (р х д)-матрицу регрессионных коэффициентов ВоНаиболее известным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов (МНК). МНК-оценка аффинно-эквивариантна (т.е. изменяется соответствующим образом при аффинных преобразованиях данных) и, в случае когда случайные ошибки имеют гауссовское распределение, оптимальна. Однако хорошо известно, что эта оценка крайне чувствительна к выбросам - единственное постороннее наблюдение может произвести на нее неограниченное влияние.
Разработка робастных методов оценивания для многомерных и многофакторных линейных моделей привлекает внимание многих авторов. Пури и Сен ([25]) предложили покоординатные ранговые оценки. Рао ([27]) предложил использовать одномерный метод наименьших модулей отдельно для каждой координаты отклика. Конкер и Портной ([18]) обобщили метод Рао и предложили робастные М-оценки, заменив модуль на произвольную функцию. Оценка, предложенная Баи и др. ([7]) минимизирует среднее евклидовых норм остатков. Все эти методы, однако, не являются аффинно-эквивариантными. Руссиу и др. ([30]) в случае случайного фактора предложили робастную аффинно-эквивариантную оценку матрицы регрессионных

ДЛЯ всех {/х, . . . , 1рд} 6 I и всех п, поэтому (см. лемму 1.1)
у/пУп{Рп) = Ор( 1). (1.63)
Повторяя рассуждения при доказательстве (1. 51), получаем
СпЦЗп\2 < п(ифп) - £7(0))
= -прп||С„(Д0 - п||/Зя|| Уп(£п) - п^Тп + п{Опфп) - ДДО)) <
< л/||А»|| (л/”|^п(3п)1 + /|К(Зп)1 + ТЙЦ^пЦ) ,
где выражение в скобках в правой части ограничено по вероятности. Значит, л/гг||/3„|| - стохастически ограниченная случайная величина. Поэтому, согласно (1. 55), (1. 63) и условию Д) теоремы,
п(^пФп) ~ Аг(О)) = Япфп) + п\0п\УпФп) + п(ЗпТп+
+п(иФп)- т)=«дН»++oj.fi).
Аналогично,
п(А,(-И'-1т„) - в„(0)) = -фг^-'г„ + 0,(1).
Доказательство теоремы завершают рассуждения (1. 60) - (1. 62) с заменой во всех выражениях (Зп на (Зп и 11п на Вп.
1.1.6 Доказательство робастности оценок Вп и Вп Доказательство теорем 1.5 и 1.6.
Пусть Д = ((к — 1)р + 1 кр), к = 1,... ,рд. Определим векторную функцию
А(Т,Р, а) = Iа&(МЬ, ..•,/„) + йТ(А,
хо?(Ах 1ро)с10ф1)с1РФ2) • • ■ (^2^),
где Т е , г/ = (х?, у1)т, ж, 6 Мр , У1 £ Ш? , П(-) - функция распределения векторов 22 2р2д, С(-) - функция распределения вектора г.