Асимптотически минимаксное оценивание в задаче Виксела

• Автор: Еникеева, Фарида Наилевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Введение
Общая характеристика работы
Содержание работы
1 Задача Виксела с квадратичным риском
1.1 Обозначения и основные результаты
1.2 Верхняя граница
1.3 Нижняя граница
1.4 Некоторые вспомогательные результаты
2 Оценивание дробной производной
2.1 Постановка задачи и основные результаты
2.2 Оценивание производной в Г^-норме
2.2.1 Верхняя граница
2.2.2 Нижняя граница
2.2.3 Асимптотика на Соболевском классе
2.3 Оценивание производной в фиксированной точке
2.3.1 Верхняя граница
2.3.2 Нижняя граница
2.3.3 Асимптотика на Соболевском классе
2.3.4 Нелинейное оценивание
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Статистическая теория непараметрического и семипараметрического оценивания является важным и наиболее быстро развивающимся направлением современной математической статистики. Эта теория представляет собой естественное развитие и обобщение классической теории параметрического оценивания.
Принципиально важным моментом в параметрическом оценивании является спецификация статистической модели с точностью до конечномерного неизвестного параметра. Например, в классической полиномиальной регрессионной модели
У% =р(в,Х^ +&, 1 = 1,..., га, (1)
где & — независимые ошибки, Хг — известные регрессоры, нужно оценить полином

р(м) = '529кхк’

в котором величины Ок неизвестны, а степень полинома д предполагается известной и не зависяшей от числа наблюдений п. Однако на практике часто нет никаких серьезных оснований считать, что оцениваемая функция регрессии является полиномом, причем, полиномом известной степени. Зачастую более осторожное предположение о том, что функция регрессии р может быть любой гладкой функцией является более правдоподобным. Потребности практических приложений приводят к расширению статистической модели и разработке непараметрических методов, т.е. методов, не

предполагающих знания функционального вида распределений. Возникающие при этом задачи непараметрического оценивания носят бесконечномерный характер.
Процедуры непараметрического оценивания для частных случаев изучались еще А. Лежандром (A. Legendre), К. Гауссом (С. Gauss) и П. Лапласом (P. Laplace). В 30-х годах 20 века В.Н. Гливенко, Р. Мизес (R. Mises), А.Н. Колмогоров иН.В. Смирнов внесли важный вклад в анализ эмпирических распределений. Систематическое изучение непараметрических оценок было начато в 50-х гг. Н.В. Смирновым, М. Розенблаттом (М. Rosenblatt),
Э. Парзеном (E. Parzen) и H.H. Ченцовым. Важнейшим примером непараметрических задач является “оценивание кривых” — плотностей распределения, спектральных плотностей, кривых регрессии, как в модели (1), функций, наблюдаемых со случайными ошибками (“сигнал на фоне шума”), а также функционалов от них. Эти задачи родственны некорректным задачам математической физики [13, 14], так как оцениваемые в них “кривые” очень чувствительны к малым изменениям модели. Поэтому для состоятельного оценивания необходима дополнительная априорная информация о функциональном классе, к которому принадлежит оцениваемая “кривая”, например, о том, что функция р в модели (1) гладкая. Подобные априорные сведения о принадлежности оцениваемого элемента некоторому функциональному классу совершенно меняют характер статистического оценивания. Например, асимптотически минимаксная оценка уже не является несмещенной и может существенно зависеть от априорной информации. Причем для этой оценки характерен баланс между смещением и дисперсией. Например, сглаживающий сплайн
при оптимальном выборе сглаживающего параметра А имеет квадратичный риск порядка гг,-2»л/(2т+1) на соболевском классе функций, имеющих гладкость т. Напомним, что квадратичный риск в параметрической модели (1) сходится со скоростью порядка гГ1. Хотя сглаживающий сплайн и не является асимптотически минимаксной оценкой (он ей проигрывает

Лемма 7. При /г —> 0 выполняются соотношения

Фк(у)
У Ду~Х
О, х > 5,
та-1/2 + О , к < х < 5,
0 (Л_1/2) ’
О < х < к.
Доказательство этого результата становится очевидным, если воспользоваться следующей формулой:

[ —.^ей = к1{и > О}«"'1/2.

Используя леммы 5 и 6, нетрудно оценить фишеровскую информацию 1п{9).
Лемма 8. Пусть к определено в (1.36), и Ц^оЦ/з < °о. Тогда при п -> оо

1п(в) < (1 + р(6))1г2д^(0)(^ У ДудИДу)^ п-1к^/г

где р{5) -> 0 при 6 -» 0.
Доказательство. Из (1.39), формулы Тейлора и лемм 5 и 7 нетрудно получить, что при п —> оо
00 ОО
9вД) = 1 / / ДудИДу). (1.40)

По тем же соображениям
оо оо
^9вД) = ! I! ДудИДу) - (1.41)

00 ОО о
- I (I Уусгто(у)) I ДуЫу) ду.
Вклад в фишеровскую информацию от последнего слагаемого в правой части (1.41) будет порядка ОДГ1), поскольку ИПз € Ь2(0, оо) и последний интеграл ограничен (см. (1.34)).