Односторонние предельные теоремы

• Автор: Титов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 c. : ил

ГЛАВА I. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРБМЫ

1. Основные определения

2. Односторонняя сходимость безгранично делимых функции распределения

3. Односторонняя сходимость функции распределения сумм независимых случайных величин

ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СХОДИМОСТИ

1. Две теоремы о распространении сходимости

2. Единственность на полуоси композиций одинаковых неубывающих функций

3. Классы предельных распределений, для которых верна теорема о распространении сходимости

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ДЛЯ СУММ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА

НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Аналитические свойства одного класса смесей безгранично делимых законов

2. Слабая сходимость функций распределения сум случайного числа независимых случайных величин
До п о л н е н и е
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В работе [зо] Х.Ю.Россберг доказал, что если безгранично
делимая функция распределения совпадает с нормальной на полуоси, то она тождественна последней. Этот результат явился положительным решением вопроса, поставленного А.Н.Колмогоровым в пятидесятых годах на одном из семинаров в Московском университете.
В.М.Золотаревым было высказано предположение о том, что множество безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на полуоси, не исчерпывается только норлальной функцией распределения. Это предположение было подтверждено И.А.Ибрагимовым [в] , указавшим подмножество безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на произвольном луче вещественной оси.
Таким образом, исследование вопроса о том, когда безгранично делимая функция распределения единственным образом определяется своими значениями на каком-либо множестве точек вещественной оси, имеет достаточно глубокое и интересное содержание. Как указано
В.М.Золотаревым в работе Ы , здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, пусть фиксирована безгранично делимая функция распределения. Каким должно быть множество £ точек вещественной оси, чтобы эта функция единственным образом определялась своими значениями на 5 в классе всех безгранично делит/их функций распределения? Во-вторых, пусть задано некоторое бесконечное множество £ точек вещественной оси. Указать множество { С- }^ безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями
на л5 . В частности, найти условие того, что
не пусто.

Исследованию указанных вопросов, а также вопросов, тесно к ним примыкающих, посвящены работы [3l] Х.Ю.Россберга, [32] Х.Ю.Россберга и Б.Есиака, С 34 ] Х.Ю.Россберга и Г.Зигеля,
[23] и Г25 ] Б.Есиака, [ 28 ] М.Риделя, Г36 7 Г.Зигеля,
[1б] И.В .Островского, [б] И.А.Ибрагимова.
Сформулируем те результаты из названных работ, которые представляют интерес для нас.
В работе [34] установлено, в частности, что норлальная функция распределения единственным образом определяется своими значениями на любом неограниченном множестве точек в классе всех безгранично делимых функций распределения.
Упоминавшийся выше результат Ибрагимова состоит в следующем.
Пусть
$± - (-ж* Oil,
где ot произвольно. Тогда к { Сг } j принадлежит каждая безгранично делимая функция распределения, которая нигде не обращается в 0 и удовлетворяет условию
Q (х) - С? (е~ ^ 1x1)з за
для любого вещественного Т . Если же
4 = 14,
где !у произвольно, то к {G- } дпринадлежит каждая без-гранично делимая функция распределения, которая нигде не обращается в I и удовлетворяет условию
I - G (х) - $(е г )у ос
для любого вещественного rt
Исследование единственности безгранично делиглых функций распределения на фиксированном множестве точек вещественной оси

ны в п.З Дополнения.
Теорема 2.4. Пусть функция распределения Р3 (ос) нигде не обращается в нуль и имеет характеристическую функцию аналитически продолжимую в верхнюю полуплоскость комплексного переменного 2 = ^ + С ^ , причем
^ & (‘у) = <2Л0)
Пусть Р - произвольная (функция из (Р . Тогда, если она удовлетворяет условию
Р^П[х) « Р*П(Х)> (2.II)
при некотором действительном (Я и некотором натуральном
Д ^ 2 , ТО Р = /~з
Для доказательства сформулированных теорем нам потребуются следующие вспомогательные результаты.
Лемма 2.2. Пусть функция <Х (х) является аналитической функцией в полуплоскости Гт г > О и непрерывна вi^2^^ Если эта функция при некотором положительном Л допускает оценку
)Д(?)1 < елср($- 2}г)ь
а также
0((2)
ограничена на действительной оси, мнимой полуоси верхней полуплоскости и лучах
«7£ 2 = Ы.± , 2 - с*3 у
где , то эта функция ограничена всюду в
верхней полуплоскости.
Доказательство. Рассмотрим угол, заключенный между лучом (Я'Ху 1 — и действительной осью. В этом утле к 0.(2.) применима теорема Фрагмена-Линделефа (п.2 Дополнения), из которой следует, что ^ (2.) ограничена в указанном угле. Точно