Большие уклонения и предельные теоремы для некоторых функционалов от случайного блуждания

• Автор: Шкляев, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
1 Большие уклонения максимума
1.1 Задача о больших уклонениях максимума
1.1.1 Основные результаты
1.1.2 Доказательство теоремы 1.1 о точной асимптотике вероятностей больших уклонения максимума
1.1.3 Доказательство теоремы 1.2. об асимптотике вероятностей больших уклонений максимума на величину 9п + 0(^/п)
1.2 Распределения некоторых функционалов от блуждания, чей
максимум совершает большое уклонение
1.2.1 Основные результаты
1.2.2 Доказательство теоремы 1.3 об условном предельном распределении величин, принадлежащих левому краю блуждания, чей максимум совершает большое уклонение
1.2.3 Доказательство теоремы 1.4 об условном предельном распределении величин из правого края блуждания, чей максимум совершает большое уклонение
1.2.4 Доказательство теоремы 1.5 об условном предельном распределении величин из центра блуждания, чей максимум совершает большое уклонение
1.2.5 Доказательство теоремы 1.6 о предельном распределении величины Мп — Д, для случайного блуждания, чей максимум совершает большое уклонение
1.2.6 Доказательство теоремы 1.7 о совместном предельном распределении ряда функционалов на случайном блуждании, чей максимум совершает большое уклонение
1.2.7 Доказательство теоремы 1.8 о совместном предельном распределении ряда функционалов на случайном блуждании, чей максимум совершает большое уклонение па величину 9п + О(у'п)

1.3 Функциональные предельные теоремы для случайного блуждания
при условии совершения его максимумом большого уклонения
1.3.1 Основные результаты
1.3.2 Доказательство условной функциональной предельной
теоремы 1.9 о сходимости процесса УХ к броуновскому мосту
1.3.3 Доказательство условной функциональной предельной
теоремы 1.10 о сходимости процесса XX к броуновскому
мосту
1.3.4 Доказательство теоремы 1.11 о совместном распределении траектории блуждания до и после момента достижения максимума
2 Большие уклонения статистики Шеппа
2.1 Задача о больших уклонениях статистики Шеппа
2.1.1 Основные результаты
2.1.2 Доказательство теоремы 2.1 об условном распределении первого большого уклонения статистики Шеппа
2.1.3 Доказательство теоремы 2.2 об асимтотике вероятностей больших уклонений для статистики Шеппа
2.1.4 Доказательство теорем 2.3, 2.4 об условных и безусловных больших уклонениях статистики Шеппа на величину вп + 0(л/п)
2.2 Предельные распределения статистики Шеппа и связанных с ней
величин
2.2.1 Основные результаты
2.2.2 Доказательства предельных теорем 2.5. 2.6. для статистики
Шеппа и статистики тп(6)
2.3 Функциональные предельные теоремы для участков блуждания
при условии большого уклонения статистики Шеппа
2.3.1 Основные результаты
2.3.2 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 2.7 о сходимости процесса Х$ к броуновскому мосту
2.3.3 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 2.8 о сходимости процесса XX) к броуновскому движению

з Статистика размаха и многомерная статистика
Шеппа
3.1 Большие уклонения статистики размаха
3.1.1 Основные результаты
3.1.2 Доказательство теоремы 3.1 о больших уклонениях
статистики взлета . .
3.1.3 Доказательство теоремы 3.2 о совместном условном
предельном распределении ряда функционалов от
случайного блуждания при условии совершения его статистикой взлета большого уклонения
3.1.4 Доказательство условной предельной функциональной
теоремы 3.3 о сходимости процессов
Х(п)) у(п)
при условии
совершения статистикой взлета большого уклонения к броуновскому мосту
3.1.5 Доказательство теоремы 3.4 об асимптотике больших уклонений статистики размаха
3.2 Большие уклонения многомерной статистики Шеппа
3.2.1 Основные результаты
3.2.2 Доказательство теоремы 3.5 об асимптотике больших уклонений многомерной статистики Шеппа
4 Литература

Положим
~ Г Г
Ап1г1 = '£11 Р(5„_/ >вп-и, Хп+1_г- £(1уи1 <%< к,
£_0 •'2/1 £^1 ''Утах(к,1)€&тах(к,1)
3п—1 Зп—^ ^ 0,5 ^ 777., 3$ ]> 777. . Зп—[ ^п—г ^ 0? Зп—1 Зп—гп ^ ^1)*
Подставим соотношения (1.31), (1.30) в (1.29) и воспользуемся (1.1):
Р(М„ > вп - и, Хп+х„г- е А,-, г < к) — Ао1 + А?1’"1 - Л^1’21 =

X / еЛ ■•• / Р(Х„+1_г; 6 бф, г<1,£ У1+1-г < 0,^ < 0 X
7 Л " сА] " Утпи! к /1 СЫтят^ I» } • -
/=0 •'2/1^^! ^Утах(к,1)^&тах(к,1) 2=

I Р(Зп-т > вп — и — х)Р{Хг £ с1уг, I < i < к, Si > 0, г < га, 5т € с£ж)
= (! + о(1))тгп_ш(6>, и)£ [ ... [ Р{Хп+1_4 е %, г < I,
/—0 2/1 ^^1 ^Утах(к,1)^^тах(к,1)

X) Уг+1-» <0,3 <1) / Р{Хг £ йуг, I < г < к, 5* > 0, г < т, 5т_/ € с?ж) х г=1 о
хе/.,>е-«,.» = (1 + о(1))^(в,«)£/ .../
^_0 •'2/1 еДх 7Утах(к,1) ^тах(к,1)
Р(АГ„+1_г е ф*, г < /, X 2/1+1—* < 0, ^ < 1)Р{Х% £ (1уи I < i < к,Б- > 0,

г < т)Р(/гб|)_/ — Лз1’*1.
где о(1) вынесено за знак интеграла, поскольку оно равномерно мало по уг £ А,-, г < к, при этом в силу (1.1) оно также равномерно по 0 6 [01,02], М < 7п-Здесь
~ Пг г г
Лз1’21 = 7ГП(0, и)£ I ... I Р(Х„+1_г- 6 фр г < £, X 2Л+1-» < О,
/_0 •'2/1 ^^1 •'2/тох(^,0^^таж(/г,0 2=
< 1)Р(Х? £ (1уг, I <г < к,Б^ > 0, г < т, 5^ > г{)К{кв)~1'Кп{в, и).
Имеем:

Р(М„ >вп-и, Хп+1_* е А,-, г <к) = Ап+ тгп(0, «) X Р(Х? € Ф, (1.32)

I <{< к, Б? > 0, { > 0)Р(5< < 0, г < /, Хп_г- 6 Ар г < А;)Р(ф)~г,