О задачах управления процессом наблюдения по неполным данным

• Автор: Джамбурия, Леван Гивиевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 132 c. : ил

ГЛАВА I. ЗАДАЧА О РАЗЛАДКЕ ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА ПРИ

НАЛИЧИИ ПЛАТЫ ЗА НАБЛЮДЕНИЯ

§ I. Вспомогательные результаты

§ 2. Постановка задачи и формулировка основной теоремы

§ 3. Задача Стефана

§ 4. Уравнение Беллмана

§ 5. Доказательство основной теоремы

Глава II. ЗАДАЧА ПОИСКА

§ I. Постановка задачи

§ 2. Задача Стефана

§ 3. Задача Стефана (продолжение)

§ 4. Уравнение Беллмана
§ "5. Исследование производных и формула Ито
§ 6. Основная теорема
Глава III. ЗАДАЧА О РАЗЛАДКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАТЫ ЗА НАБЛЮДЕНИЯ. ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ
§ I. Постановка задачи и основная теорема
§ 2. Некоторые вспомогательные предложения и рекуррентные соотношения
§ 3. Доказательство основной теоремы
ЛИТЕРАТУРА

I* В настоящей диссертации рассматриваются две задачи статистического последовательного анализа - задача о разладке и задача последовательного различения двух гипотез. Эти задачи рассматривались многими авторами в различных постановках (см, сч -[63 и указанную в них литературу). Как обычно, они сводились к задаче оптимальной остановки некоторого марковского процесса. Из общей теории оптимальной остановки марковских процессов, развитой в [I] , следует существование оптимального момента остановки в задачах о разладке и последовательном различении двух гипотез. В случае непрерывного Бремени находится также явное выражение для функции риска.
Предложенная в диссертации байесовская постановка этих задач отличается от обычных постановок тем, что наблюдению подлежит некоторый управляемый процесс. В связи с этим, кроме нахождения оптимального момента остановки, возникает проблема построения и оптимальной (или £ -оптимальной) стратегии. Рассмотрение управляемого наблюдаемого процесса в задаче о разладке обусловлено введением платы за наблюдение (в указанных выше работах рассматривался случай бесплатных наблюдений). В аналогичной постановке задача о разладке рассматривалась в [73 (в случае непрерывного времени). Основной результат этой работы заключается в определении структуры оптимальной стратегии при условии, что она существует. Отметим, однако, что рассуждения носят эвристический характер.
Задача последовательного различения двух гипотез в случае управляемого наблюдаемого процесса, или по другому, задача поиска, впервые была рассмотрена в [53 .В работе [83 были про-

доджены исследования, начатые в И . В [8] исследуются функции,5 определяющие границы в оптимальном правиле, по достижении которых следует прекращать наблюдение. Однако, в этих работах не было дано доказательство существования оптимального или £- оптимального правила. В работах [9] , [10] рассматривалась задача последовательного различения Уь гипотез в случае управляемого наблюдаемого процесса для некоторого узкого класса стратегий. Аналогичным задачам посвящены также работы [II] , [12]
2.‘ В настоящей диссертации задача о разладке в случае управляемого наблюдаемого процесса рассматривается как для непрерывного, так и для дискретного времени. В случае непрерыви ного времени предлагается следующая постановка задачи.
На вероятностном пространстве (Х1.) 3^ (Щ)и0, Вт) заданы стандартный винеровский процесс М/= (Л4,31) и независимая от него % -измеримая случайная величина 0 такая, что
й(9--о)=эг, &((Ы|0>о)=ен, 1>о, Х>о, 9гь[ои]-
Наблюдению подлежит процесс где &-] .4, и ^ег - отличные от нуля константы, прох. (Уз т.)
цесс о(=. (ос^ 3^.’ )^>опринимает два значения - 0 и I и таков, что уравнение (I) имеет единственное сильное решение. Про^ цесс называется стратегией и множество всех стратегий обозначается через 'ЪС . 1ХС* обозначает множество всех конечных марковских моментов относительно потока б'-алгебр Пара Д=(о4,г) называется решающим
- 50 -Глава II
ЗАДАЧА ПОИСКА
В этой главе рассматривается задача различения двух гипотез при условии, что разрешается выбор наблюдаемого процесса. Точная формулировка задачи приводится в § I. Там Ее показыва^-ется, что поставленную задачу моено свести к задаче оптимальной остановки некоторого управляемого процесса. В § 2 решается задача Стефана в некоторой области плоскости и исследуются свойства границ этой области. Следующий параграф ( § 3) посвящен решению задачи Стефана в другой области. В § 4 показывается, что решения задач Стефана, полученные в предыдущих параграфах, удовлетворяют некоторому уравнению. Доказательство того факта, что функция риска совпадает е решением задачи Стефана существенно опирается на результат § 4. В § 5 доказывается формула Ито в одном частном случае и, наконец, в § б доказывается основной результат главы П.
§ I. Постановка задачи
Пусть на вероятностном пространстве шт НО) Р) заданы стандартный винеровский процесс Д/:=(А4,91)^0и Рэ -измеримая случайная величина 0 такая, что
Р(0-о)-5ГО| Р(0=1)=ЗГ1, Р(0=Л) = 5Га, 9Г0+5Г1+%Н. (1.1)
Рассмотрим процесс
^ ~ 10 [о1ч^(е=1)+^"^^(е*2)]с^+ ) (1#2')
где является р°г (0^ Хчо“ согласованным процессом1 таким, что уравнение (1.2) имеет единственное сильное решение и для кавдого ^0 сХ±-0 или I. Мнокество всех таких