Некоторые статистические задачи теории временных рядов

• Автор: Ольшанский, Кирилл Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с.

0.1 Введение

1 Об экстремальном индексе прореженного процесса авторегрессии

1.1 Введение

1.2 Проверка условия Лидбеттера

1.3 Предельная теорема для максимума равномерного А11(1)-процесса

в условиях случайного прореживания

2 Теорема Лидбеттера для совместного распределения максимумов в условиях случайного прореживания

2.1 Постановка задачи

2.2 Вспомогательные леммы

2.3 Предельная теорема для совместного максимума

3 Стационарный временной ряд при близкой нестационарной альтернативе: локально асимптотическое распределение отношения правдоподобия
3.1 Постановка задачи и основные результаты
3.2 Доказательство Теоремы
3.3 Доказательство леммы о сходимости накопленных сумм к стохастическому интегралу

Литература.

0.1 Введение.
Настоящая работа является диссертацией на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук и состоит из трех глав. Первая и вторая главы посвящены исследованию экстремальных значений стационарных временных рядов в условиях случайного прореживания.
Классическая теория экстремальных значений — асимптотическая теория распределения максимума
Мп = тах(£ь.
п независимых, одинаково распределенных случайных величин — начала развиваться чуть более полувека назад, хотя ее корни уходят гораздо глубже в историю математики. В основе теории лежит фундаментальный результат, впервые полученный Фреше и Типнетом [15] и позднее в полной общности доказанный Б.В. Гнеденко [16]. Результат, о котором идет речь (его часто называют теоремой экстремальных типов или теоремой Гнеденко), описывает все возможные формы распределения М„ в условиях линейных нормировок. Строго говоря, Гнеденко установил, что если Мп имеет невырожденное предельное распределение С(х), т.е.
Р(ап(Мп - Ьп) < х)^ С(х) (1)
для некоторой последовательности чисел а„ > 0,Ь„, то С принадлежит одному из трех типов (в том смысле, что существуют такие а > О, Ь, для которых распределение Н(х) С (ах + 6) в точности одно из перечисленных ниже) :
Тип I: Н(х) = ехр(—е~х) — оо < х < +оо
Тип II: Н(х) — ехр(—х “) х>0,(сг>0)
= 0 х <
Тип III: Н(х) = ехр(-(-х)а) х<0,(а>0)
— 1 х > 0.
Типы I, II и III соответствуют распределениям Гумбеля (Gumbell), Фреше (Frechet) и Вейбула (Weibull) соответственно. В [27] приводится упрощенное доказательство указанной выше теоремы с использованием техники, предложенной де Хааном (de Haan). Данное доказательство построено на использовании теоремы Хинчина (см. [27] стр.7) о сходимости функций распределения, а также на том факте, что множество функций, возникающих в качестве предела в (1), совпадает с классом устойчивых относительно максимума функций распределения, т.е. таких функций распределения G, для которых существуют числа ап > 0 и Ьп, такие что
Gn(anx + bn) = G(x)
для любых п = 2,3,... (подробнее см. [27] глава 1).
Задача оценки параметра а с использованием выборки независимых и одинаково распределенных случайных величин рассмотрена множеством авторов. По этой теме можно обратиться к работам: Hill [21], Hall [18], Mason [29], Pickands [40], Davis and Resnick [12], Hausier and Teugels [20], Csorgö and Deheuvels and Mason [11], Smith [47], Beirland and Teugels [5] и Dekkers and de Haan [13]. Оценка а в условиях зависимой выборки была рассмотрена в Hsing [22].
Если обозначить за F(x) маргинальную функцию распределения случайной последовательности {£„}, то легко видеть, что в случае независимых наблюдений
Р(Мп <х) = Fn(x),

Введем условие принадлежности ряда классу инвариантности Донске-ра. Иными словами допустим, что для ряда {£*} выполняется функциональная предельная теорема (см. например [1], стр. 241)
О Имеет место слабая сходимость в пространстве Скорохода £>([0,1]) векторных функций:
, [ТЦ
-= *е[од]
уТ к
при Т —> оо, где ЦГг, £ € [0,1] - стандартный векторный винеровский процесс в Я<1.
Наконец, введем условие на моменты четвертого порядка временного ряда {6}-А2
яир вир ^ ] 1
г'=1,...Д0=1,..Д<1еЯ,51бЯ .
1в. *-Щ > о-— В] | > а
при а —> со.
Лемма 6 Пусть выполнены условия А1, В, А2. Тогда имеет место сходимость по распределениям
1 ^ Г
- V Х<-!& 4 25 / ЩдЩг&Т + Е0)
1 1=1 ■'о
при Т —> оо, где Ео
Доказательство этой леммы, проведенное стандартным "блочным" методом, сходным методу Бернштейна, приводится в приложении. Заметим здесь, что из очевидного соотношения
+ ЬХЪ = Х<Х2 - Х^Х^ - (3.5)