Неравномерная оценка погрешности в коротких асимптотических разложениях в гильбертовом пространстве

• Автор: Богатырев, Сергей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение

Глава I. Методы построения неравномерных оценок

2. Основные леммы

3. Доказательство основной теоремы

4. Вспомогательные результаты

5. Оценки интегралов от производных характеристических функций в доказательстве леммы о близости

сглаженных распределений

6. Неравномерная оценка в специальном случае

Глава II. Примеры построения оценок

в гильбертовом пространстве

7. Оценка функции концентрации
квадратичной формы в Н
8. Оценки для членов асимптотического
разложения
Список литературы
1 Введение.
В работе исследуются вопросы, связанные с асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме в бесконечномерных пространствах. Рассматриваемая задача относится к теории вероятностных распределений в линейных пространствах и находится на стыке функционального анализа и теории вероятностей.
Основная часть работы посвящена, так называемым, ’’коротким” асимптотическим разложениям. Здесь имеется ввиду приближение данного распределения предельным распределением и первым членом асимптотического разложения.
Вопрос о погрешности нормальной аппроксимации в бесконечномерных пространствах возник в 60-е годы двадцатого века в связи с задачами математической статистики, а также в соответствии с внутренней логикой развития самой теории вероятностей. Первыми в этой области являются работы Н.П. Канделаки [12], В.В. Сазонова [45, 46], В]Ю'. Прохорова и В.В. Сазонова [20], H.H. Вахания и Н.П. Канделаки [9]. В [23], [45], [20] р.рР1. Прохоров и В.В. Сазонов рассматривали ш2-статистику как п~1/2 E"=i Xj| , где Xj — независимые одинаково распределенные случайные элементы (с.э.) со значениями в пространстве Ь^[0,1], а j-| — норма в этом пространстве. Такое представление и послужило одним из важных толчков к изучению проблемы.
С тех пор эта область математики интенсивно развивалась и было получено большое количество результатов. Многие из них, описание методов исследований, применения в статистике и обзоры публикаций можно найти в книгах В. Паулаускаса и А. Рачкаускаса [17], В.В. Сазонова [47],
B.C. Королюка и ß.fÖ1. Боровских [13], H.H. Вахания, В.И. Тариеладзе и
C.А. Чобаняна [10], а также в обзоре В. Бенткуса, Ф. Гётце, В. Паулаускаса, А. Рачкаускаса [5], [32]. Однако много новых публикаций появилось уже после выхода в свет этих работ. Среди последних отметим статьи В.В. Сазонова и В.В. Ульянова [25], [48], В. Бенткуса и Ф. Гетце [35], [36], [37], [38], Ф. Гётце и В. Ульянова [41] и др., а также докторскую диссертацию В.В. Ульянова [27].
Подчеркнем, что метод, применяемый в данной работе и объединяющий все полученные в ней утверждения, в основном является результатом синтеза приемов упомянутых выше работ В.В. Сазонова, В.В. Уль-

янова, Ф.Гётце, Б.А. Залесского, а также работ В.В. Юринского [29] и В.И. Ротаря [21], [22].
Целью работы является исследование по уточнению гауссовской аппроксимации для независимых одинаково распределенных с.э. со значениями в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве. В качестве класса множеств, на которых сравниваются меры, порожденные суммами исходных с.э., с аппроксимирующими функциями множеств, рассматриваются шары с произвольными центрами. Также ставится задача показать, что методы, применяемые для решения первой проблемы, могут успешно использоваться для решения смежных задач теории вероятностей и математической статистики.
Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Оценена погрешность короткого асимптотического разложения вероятности сумме независимых одинаково распределенных с.э. попасть в шар гильбертова пространства при оптимальных моментных ограничениях. Полученная оценка является правильной как по числу слагаемых в сумме, так и по зависимости от центра, шара. Кроме того, полученная оценка является неравномерной, т.е. она убывает при увеличении расстояния от границы шара до нулевого элемента, и порядок убывания не может быть улучшен. Оценка зависит от двенадцати наибольших собственных значений ковариационного оператора отдельного слагаемого и это число не может быть уменьшено.
2. С помощью методов, использованных для получения первого результата, получена оценка функции концентрации квадратичной формы в гильбертовом пространстве. Фактически, результат справедлив для более широкого класса статистик, а именно для статистик, представимых в виде суммы трех слагаемых, где первое из них является собственно квадратичной формой, а два других— функции от исходных с.э. достаточно произвольного вида. Полученная оценка интересна тем, что вид ее зависимости от собственных значений ковариационного оператора распределения исходных с.э. — дробно-рациональный. Таким образом, при определенных условиях предлагаемая оценка может быть лучше оценки В. Бенткуса и Ф. Гётце [36], [37].
3. Найдены оценки произвольного члена асимптотического разложения

Положим (1 — 2, тогда
1 (<т$р42 (сг(я)<г|(оу... <т,)2/*п(п(п/Ь2))1/
оЦЗ^аЦп/Ь'-у/*-
1 ММ с2(5) 0-^(7! ... а,)2Л- с3(а) ог^(о-1 ... о-л)2/*А ^,,
— П сг® у Сх сг|/34 ~ С! сг]2 п
Неравенство (2.54) получено в предположении, что /34/п < сел], т.к. именно при таких ограничениях будет применяться лемма 2.7.
Далее положим <р({) = /(.0)//>(£Аг), тогда
<й /* 1 . . ей
— = / <р £ —
< Мо/лг
Мультипликативное неравенство (2.52) для <р имеет вид

дг - 7)^(г + 7) < ф)А„.(г) (^) лфлч, = = ф)Л,(Г)(^)'/,М'(7.Л'г^) =
= с(5)Мя(7, АТ), где N = Ы2—(2.56)

Рассмотрим В = Имеем

1/2 / 2 1/2 / 4 я П2 ' —1/
Ч • I пАп I СГтРл I П
I ь /
в = «,(=£) = Ф!(т71 |гп7х:1 (ь
1 ”• ' 'фП'-'ф*" /
С1 9 п ■ П СТ I
= 7Щ/рМ ^ £1, есяи Р-ехр|адГ
Теперь мы можем применить лемму 3.2 из [38] и получить, учитывая
(2.55) и (2.56),
(И^Т'!^'/4)