О выделении предельных семейств распределений из обобщенной модели Бирнбаума-Саундерса

• Автор: Джунгурова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 80 с.

1. Обобщение вероятностной модели Бирнбаума-Саундерса и его статистические свойства
§ 1. Обобщенное распределение Бирнбаума-Саундерса
§2. Асимптотический анализ функции правдоподобия
§ 3. Асимптотики распределения статистики Т
с**
2. Статистические задачи обобщенной вероятностной модели Бирнбаума-Саундерса
§ 1. Оценка параметров
§ 2. Выделение обратных гауссовских типов и распределения БирнбаумаСаундерса из семейства ОВЗ-распределений
§ 3. Выделение нормального распределения как предельного типа
ОВЭ и гамма распределений
§ 4. Асимптотика необходимого объема выборки. Асимптотически
(по параметру) точные оценки НОВ
Библиография

Выделение специальных семейств распределений из более богатого класса вероятностных моделей является классической задачей математической статистики, представляющей большую практическую ценность. Примером тому служат известные результаты о выделении нормального типа из семейств распределений, задаваемых рядом Грамма-Шарлье, проверка гипотезы отсутствия последействия (экспоненциальное распределение) в рамках модели старения и износа (гамма-распределение) или модели слабого звена (распределение Вейбулла). Наконец, более сложная задача - выделение распределений гамма и Вейбулла из обобщенного гамма-распределения. Однако, существует очень мало таких моделей, которые, с одной стороны, достаточно богаты, чтобы содержать как частные случаи известные одно и двухпараметрические семейства, и, с другой стороны, не являются чистой абстракцией, то есть имеют конкретный физический смысл. Поэтому построение новых моделей, обладающих вышеперечисленными свойствами, представляет несомненный теоретический и практический интерес. Обычно, в условиях, когда разработанная модель не обладает достаточными статистиками, применяется теория Ле Кама для построения асимптотически локально наиболее мощных (инвариантных) критериев выделения подсемейств из более общего семейства. Однако, если выделяемое семейство лежит на границе параметрического пространства общего семейства, то применение теории Ле Кама становится весьма нетривиальным и требует разработки новых методов построения критериев, а зачастую, и изменение понятия асимптотической оптимальности. Результаты в этом направлении могут послужить дальнейшим толчком в развитии теории статистического вывода и, таким
образом, являются актуальными в научном плане.
Основная цель диссертационной работы состоит в построении оптимальных критериев для выделения частных типов распределений (таких, как нормальное, обратное гауссовское, смещенное по долговечности обратное гауссовское, Бирнбаума-Саундерса) из общей вероятностной модели, происходящей от семейства распределений Бирнбаума-Саундерса. Разрабатываются новые методы асимптотического анализа мощностных характеристик критериев нормальности и планирования объема испытаний.
Наиболее важные результаты работы в кратком изложении выглядят следующим образом. Дано обоснование и предложено обобщение вероятностной модели (Jorgensen В., Seshadri V., Whitmore G.A., [37]), описывающей рост и развитие объектов под воздействием внешних факторов (рост организмов, развитие трещин при хаотических и циклических нагрузках, накопление усталости и т.п.); исследованы ее свойства. Дана содержательная трактовка физических процессов, лежащих в ее основе. Решена задача построения оптимальных критериев для выделения частных распределений из общего семейства. Для выделения распределений обратного гауссовского и смещенного по долговечности (length biased) обратного гауссовского при мешающем масштабном параметре и фиксированном значении параметра формы построены асимптотические локально наиболее мощные критерии, основанные на статистике вклада. В случае неизвестных значений всех мешающих параметров предлагается использовать критерий отношения правдоподобия. Поскольку гипотеза касается значения параметра смеси, то предельное распределение тестовой статистики может отличаться от хи-квадрат, - доказывается, что для данной задачи это распределение сохраняется. Особый интерес представляет проверка нормальности, что соответствует неограниДействительно, если р = 0, то уравнение максимального правдоподобия имеет явное решение:
в данном случае используется оригинальная параметризация ОВБ-распре-деления, при которой функция плотности /(ж) = (1 — р)/Дж) +р/г(а:), где
и, подставляя в правую часть приведенные выше оценки А, 9, получаем нуль. Случай р = 1 рассматривается аналогичным образом.
Таким образом, решается задача выделения трех основных типов из семейства СБЭ-распределения: Бирнбаума-Саундерса (р = 0.5), обратного гауссовского (р — 0) и смещенного по долговечности обратного гауссовского типа [р = 1) при неизвестных значения параметров Л и в. Если же значение параметра А известно, то можно воспользоваться результатами § 2 Главы 1, из которых следует, что инвариантные относительно масштабных преобразований оптимальные критерии проверки ряда сложных параметрических гипотез, касающихся спецификации частных случаев СБЭ-распределения, должны быть основаны на статистике Т. Так, критическая область Т > с определяет локально наиболее мощный инвариантный критерий проверки гипотезы Ню : р = 0 (выбор производится из Ю-распределения) при альтернативе Кю : р > 0 и известном значении параметра А. Критическая область Т < с определяет аналогичный критерий проверки гипотезы
/Дж) = /Дж | в, ,р) = ^=(0/ж)3/2ехр (уД~/х - л/жД?) |
/г(Д) = /2(ж|0,А,р) = ^и(0/ж)1/2ехр (у/в/ж - у/ф) |
Нетрудно убедиться, что