Байесовские и вариационные задачи последовательного анализа

• Автор: Гапеев, Павел Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 150 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Вспомогательные сведения из стохастического

исчисления

§ 1.1. Рассматриваемые классы случайных процессов

§ 1.2. Локальная эквивалентность мер. Теоремы Гирсанова.

Структура процесса плотности

§1.3. Однородные экспоненциальные семейства. Примеры

§ 1.4. Задачи об оптимальной остановке

для марковских процессов и задача Стефана

§ 1.5. Случайная замена времени

Глава 2. Достаточные статистики в байесовских задачах
о ” разладке” и последовательного различения гипотез
§ 2.1. Постановка байесовской задачи о ’’сложной” разладке.
Определения основных понятий
§ 2.2. Достаточные статистики в байесовской задаче
о’’сложной” разладке. Примеры
§ 2.3. Транзитивные и марковские достаточные статистики в байесовских задачах о ’’сложной” разладке для некоторых классов процессов

Глава 3. Задачи обнаружения разладки
для некоторых классов случайных процессов
§ 3.1. Байесовская задача
3.1.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения
3.1.2. Случай однородных экспоненциальных семейств
§ 3.2. Вариационная задача
3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Случай однородных экспоненциальных семейств
§ 3.3. Байесовская и вариационная задачи
с информационным критерием запаздывания
3.3.1. Постановки задач. Вспомогательные утверждения
3.3.2. Дополнительные построения. Основной результат
3.3.3. Случай процессов диффузионного типа
Глава 4. Задачи последовательного различения гипотез
для некоторых классов случайных процессов
§ 4.1. Байесовская задача
4.1.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения
4.1.2. Случай однородных экспоненциальных семейств
§ 4.2. Вариационная задача
4.2.1. Постановка задачи
4.2.2. Случай однородных экспоненциальных семейств
§ 4.3. Байесовская и вариационная задачи с информационным
критерием продолжительности наблюдений
4.3.1. Постановки задач. Вспомогательные утверждения
4.3.2. Случай процессов диффузионного типа
4.3.3. Случай фрактального броуновского движения
Список литературы

Введение
1. Одна из наиболее продвинутых областей стохастической теории оптимального управления, называемая теорией оптимальных правил остановки, получила свое развитие, прежде всего, благодаря работам А. Вальда и его монографии [73; (1947 г.)]. В этой книге были собраны известные к тому времени теоретические факты и показывалось их применение на примере процедуры последовательного различения гипотез о распределении поступающих независимых одинаково распределенных случайных величин.
В отличие от классического метода различения гипотез (метода Неймана - Пирсона) с заранее фиксированным числом наблюдений, в последовательной процедуре момент прекращения наблюдений (момент остановки), в который и происходил выбор одной из гипотез, являлся случайным и определялся на основе имеющихся наблюдений. В совместной работе Вальда с Дж. Волфовитцем [74; (1948)] было доказано, что, так называемый, критерий последовательного отношения вероятностей является лучше других методов различения гипотез с точки зрения среднего числа наблюдений при фиксированных вероятностях ошибочных решений. Кроме того, предложенный способ оптимальным образом определял момент прекращения наблюдений и оказался наилучшим среди всех последовательных методов.
Дальнейшее исследование вопросов, связанных с существованием оптимальных правил остановки, и развитие методов их нахождения в байесовских решающих процедурах давалось в работах К.Дж. Арроу, Д. Блэкуэлла и М.А. Гиршика [33; (1949)], Вальда и Волфовитца [75; (1950)]. Отправляясь от результатов этих работ, Дж.Л. Снелл [71; (1953)] сформулировал общую задачу об оптимальной остановке для последовательностей случайных величин и указал некоторые методы ее решения. Полученные Снеллом результаты далее были развиты в работах И. Чао и Г. Роббинса [40; (1961)], Г. Хаггстрёма [47; (1966)], Д. Сигмунда [70; (1967)]. Обобщению и раз-
‘В пунктах 1 и 2 ” Введения” дается историко - библиографическая справка о результатах и работах, связанных с темой диссертации. В пунктах 3 и 4 дается описание основных результатов диссертации, выделенных при изложении двойной вертикальной чертой слева.

Пример 1.5. Пусть относительно меры Р(9, в € © = (—оо,0), процесс X имеет характеристики (tS//—26,0, dt[5I(х > §)евх / y/2nxz]dx), 8 > О, т. е. является обратным гауссовским процессом, где yJ—26 играет роль одного из параметров плотности распределения случайной величины Х\ р(х) = (82х~1 — 29х)/2/у/Ъхх?, х >0 (см. [35]). Тогда множе-
ство (P^)geQ является однородным экспоненциальным семейством и в (1.13) имеем Kg(v) = 8[у/— 29 — у/—2(9 + г)], в, в + v € 0 = (—оо, 0).
Пример 1.6. Пусть относительно меры Рд процесс X = {Xt)t>о имеет характеристики (t[p + 89/V®2 - в2,0, dt[a8Ki(ax)eex/(nx)dx), а > О,
О < |0| < а, у G R, 8 > 0, где К(х) - модифицированная функция Бесселя третьего рода с индексом 1 (см. [1]). Процесс X является нормальным обратным гауссовским процессом, где в - один из параметров, ’’отвечающих” за форму плотности р{(х) = aes^a2~92К(а8д/l + (х — у)2 / 82)ев^х~^ / (пу/ 1 + (х — WJ&) (см- [36]) [31; гл. Ill, §l.d]). В этом случае (Pg)^© является однородным экспоненциальным семейством с Р = Ро и кумулянтой к(0) — 5(о — у/а2 — в2) + ув, в G © = (—а,о).
Пример 1.7. Пусть относительно меры P# процесс Л' = (Xt)t>о имеет триплет характеристик (t[y + 861(2(8а)/(у/а2 — 62I(i(8a))], 0, dtpl(x)e9x]dx), а > 0, 0 < [#| < а, у 6 К, 8 > О,
по(гу = _J_ Г еМ~хУ2У + а2) . , ехр(-|аг!)
"Wo y[Jf(8y/2y)+Y2(8V2y)]y |*| ’
где J, Y - функции Бесселя первого и второго рода, соответственно, и К2 - модифицированная функция Бесселя третьего рода с индексом 2 (см. [1]). Процесс X является гиперболическим процессом, где 9 - один из параметров плотности р(х) = у/а2 — в2 ехр[—ayj82 + (х — у)2 + в(х — у)/ (2ос8К(8у/а2 — в2)), ’’отвечающих” за ее форму (см. [46], [31; гл. Ill, §l.d]).
В этом случае (Pg)ge0 является однородным экспоненциальным семейством с Р = Р0 и к(в) = og{aK(SV®2 - в2)/(Кг (8а) у/а2 - 62)] + ув, в е © = (-а, а).
§1.4. Задачи об оптимальной остановке для
марковских процессов и задача Стефана
Определения различных понятий теории марковских процессов, приведенные в данном параграфе, взяты из [30; гл. I, § 4] и [10].