Предельные теоремы для случайных выпуклых ломаных

• Автор: Зарбалиев, Сахават Маил оглы
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

Глава 1. Предельные законы относительно одного класса мультипликативных статистик
1.1. Построение мер Рп
1.2. Выбор параметров г,
1.3. Уточнение асимптотики математического ожидания 22 •
1.4. Асимптотика вторых моментов
1.5. Оценка старших моментов
1.6. Локальная предельная теорема
1.7. Закон больших чисел
1.8. Центральная предельная теорема
1.9. Закон больших чисел для количества звеньев
1.10. Закон больших чисел для количества целых точек
Глава 2. Аппроксимация выпуклых функций случайными ломаными
2.1. Аппроксимирующие ломаные
2.2. Построение мер 0 и РЦ
2.3. Выбор параметрических функций гЦт), г^(х)
2.4. Асимптотика математического ожидания
2.5. Асимптотика вторых моментов
2.6. Локальная предельная теорема
2.7. Закон больших чисел
Список литературы

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических свойств (в частности, предельной формы) для ансамблей целочисленных выпуклых ломаных относительно некоторых классов вероятностных распределений, порожденных мультипликативными мерами.
Интерес к статистике выпуклых целочисленных многогранников (т.е. с вершинами на целочисленной решетке Zd) был инициирован в статье
В. И. Арнольда [1], где в связи с исследованием диаграмм Ньютона был поставлен вопрос об асимптотике числа Nd(A) выпуклых целочисленных многогранников данного объема А —> оо (с точностью до автоморфизмов решетки Zd). Арнольд получил двусторонние асимптотические оценки для случая d = 2 вида сА1^ ^ Ni(A) ^ c В плоском случае вопрос Арнольда тесно связан с проблемой перечисления незамкнутых выпуклых ломаных, выходящих из начала координат, с углом наклона звеньев не более тг/2 и с закрепленным правым концом п = (нцпг) —> оо. В свою очередь, последняя задача является геометрической формулировкой задачи о строгих разбиениях вектора (п1,пг) в неупорядоченную сумму (неколлинеарных) векторов с неотрицательными целыми компонентами. Отталкиваясь от этого наблюдения, в 1980-е гг. А. М. Вершик поставил проблему нахождения предельной формы ломаных, по образцу аналогичных задач о разбиениях, диаграммах Юнга и пр. (см. [8]). Здесь “предельная форма” понимается как кривая, в произвольно малой окрестности которой при больших п лежит подавляющее большинство ломаных (после надлежащего масштабного преобразования). С вероятностной точки зрения, существование предельной формы представляет

собой функциональный закон больших чисел относительно равномерного распределения вероятностей на ансамбле Сп выпуклых ломаных с концами в точках 0 = (0,0) и п = (пх,п2).
Проблема предельной формы для выпуклых ломаных была решена в работах А. М. Вершика [5] и И. Бараньи [23]. Именно, было показано, что при масштабном преобразовании решетки (*1,*г) {ч/пчЧ/щ) предельная форма существует и задается дугой параболы 70 с уравнением
у/1 - и + у/йъ = 1, 0 < их,142 <1. (0.1)
Попутно была получена точная логарифмическая асимптотика для числа ломаных:
1пр(щ,п2) = 3 (Щ) (П1П2)1/3(1 + о(1)), п -> оо,
в предположении, что п2/пх —> с, 0 < с < оо. Доказательства Вершика и Бараньи носили прямой комбинаторно-функциональный и геометрический характер и основывашсь на изучении соответствующей производящей функции с последующим применением многомерного метода перевала для интеграла Коши либо подходящей тауберовой теоремы.
В статье [5] также поставлен и решен вопрос об асимптотике числа ломаных, лежащих окрестности графика 7 заданной строго выпуклой функции. Очевидно, по отношению к равномерному распределению вероятностей на Сп множество таких аппроксимирующих ломаных является “большим уклонением” (относительно предельной кривой 7о) и потому имеет экспоненциально матую вероятность. В указанной работе быт выписан соответствующий функционал действия, для которого предельная парабола 70 доставляет единственный максимум в классе графиков гладких строго выпуклых возрастающих функций. Отметим, что принцип больших уклонений для случайных ломаных (относительно равномерного распределения вероятностей) доказан А. М. Вершиком и О. Зейтуни [32]. Результат Вершика об аппроксимирующих ломаных приводит к задаче построения новой меры Р%, относительно которой данная выпуклая

поскольку (а — Ь)/а < 1п(а/Ь), если 0 < !>< а и 1 - 2-ггсоз(А, х) + г2* ^ 4. Вспоминая выражение (1.18), получаем (1.145). □
Доказательство теоремы 1.15. Согласно формуле обращения,
/<|[,",-|(Л)<гЛ
где Т := {А = (Ах,Лг) : |А,-| ^ ж, г = 1,2}. С другой стороны, характеристическая функция плотности оДуДхДг) имеет вид
/„(А; еь«2) = Л 6 К2_
Следовательно, по формуле обращения имеем
Фп{Ут,п,ЧМ) = тЛчг [ е-,‘<А-”-“-(<‘^)>-1А^1(|‘*)1,/2йА. (1.148)
(27Г)^
Заметим, что если |А1^_1(^Д2)| ^ £з,л(*ь*2)-15 то в силу лемм 1.22 и 1
|А| < ^У“1^)! • ||К(^Д2)|| < Ьз.пЧь^-'ЦКЧт^г)!! = 0(п~1'3) = о( 1)
(1.149)
и, таким образом, X ЕТ. Вычитая (1.148) из (1.147), получаем
|фП{£(М2) = } - Фп{Ут,пА,Ь) + к + (1.150)

|/№„.,,М-е-№'(,‘Л,№|А
( ) Уп (<1|<2)|^^3,п(Ц,<2)
* == 75^5
(27Г) 4|АИ„-1(г1.<2)|>^з,„(<1,*2)
г>:=7535/ ,
( / «» 2’П{|АКГ (41,42)|>Гз,п(41 ,*2)~1}
С помощью замены А = АУП(^Д2) интеграл /х приводится к виду
А = [■ |/№.«(^»(‘,.‘»)) - е-'5|’/2|
- (2л) ^|А[^1з1П(<1,<2)"1
= 0{п~^)ЬгЛЬМ) ( |А|3е-'^6ЙА = 0(п"5/3), (1.151)