Матричнозначные корреляционные меры и многомерные тесты независимости

• Автор: Суханова, Екатерина Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение
Благодарности
1 Матричная корреляция
1.1 Вспомогательные средства матричной алгебры
1.2 Мотивация и определение
1.3 Простейшие свойства р как меры связи
1.4 Выборочная матричная корреляция
1.5 Распределение в гауссовском случае
1.6 Матричное корреляционное отношение
1.7 Матричная частная корреляция
1.8 Связь р с различными понятиями многомерного анализа
2 Матричные знаковые/ранговые корреляции и тесты независимости
2.1 Тесты независимости одномерных признаков
2.2 Многомерные знаки и ранги
2.3 Матричные знаковые и ранговые корреляции
2.4 Матричные корреляции и тесты независимости
2.5 Эллиптическая модель распределения
2.6 Вычисление питменовской АОЭ предложенных тестов
2.7 Вычисление функций влиянии
2.8 Приложение
Основные обозначения
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы Актуальность темы
Задача анализа статистической связи между признаками и, в частности, проверки статистической гипотезы о независимости двух случайных признаков часто встречается в прикладных исследованиях. Классический коэффициент корреляции Пирсона (Pearson, 1896) обычно используемый для решения этой задачи, обладает тем недостатком, что он крайне ненадежен при наличии в данных грубых ошибок и при иных отклонениях модели распределения признаков от нормального. Альтернативными мерами взаимозависимости признаков служат непараметрические коэффициенты корреляций, построенные при помощи рангов п знаков. Это — популярные ранговые корреляции Спирмена (Spearman, 1904), Кендэлла (Kendall, 1938), квадрантная корреляция (Mosteller, 1946; Blomqvist, 1950) и проч. Данная тематика хорошо освещена, например, в книгах Гаека, Шидака (1971) и Кендэлла (1975).
Непараметрические методы статистики — это комплекс методов статистической обработки данных, не требующих знания функционального вида генеральных распределений. Потеря информации, возникающая при переходе от точных значений наблюдений к их порядковым номерам (рангам) или знакам, компенсируется широкой применимостью методов и их устойчивостью по отношению к различного рода «выбросам», неточностям моделей и т.д. Поскольку ранговые методы базируются на упорядочении наблюдений, они используются, так же как и знаковые методы, только для вещественных данных. Для многомерных данных, когда результатом наблюдения над каждым объектом является несколько чисел (вектор), к сожалению, не существует естественного способа упорядочения и сравнения. Поэтому опыты многомерного обобщения ранговых и знаковых коэффициентов корреляций актуальны и оправданы.
Интерес к развитию методов многомерного непараметрического корреляционного анализа наблюдается на протяжении нескольких десятилетий вплоть до настоящего времени. Предпринимают много попыток получить адекватные результаты в данной области. Перечислим лишь некоторые из них в хронологическом порядке. Покоординатное ранжирование при построении многомерного непараметрического критерия независимости применили Puri и Sen (1971), но их тестовая статистика не удовлетворяет свойству аффинной инвариантности и, как следствие, ее эффективность зависит от ковариационной структуры наблюдений. Указанная статистика при специальном выборе функций меток служит обобщением квадрантной и спирмсновской корреляций. С помощью так называемого углового расстояния между двумя многомерными наблюдениями — т.е. относительного количества гиперплоскостей, порожденных векторзначными данными, и разделяющих эти два наблюдения — Gieser и Randles (1997) предложи-

ли многомерный вариант знакового квадрантного теста. Хотя полученный критерий аффинно инвариантен и асимптотически свободен от распределения, он весьма неудобен с вычислительной точки зрения. Воспользовавшись пространственным обобщением понятия знака, более практическую многомерную версию квадрантного теста недавно представили Taskinen, Kankainen, Oja (2003). Подобным образом многомерные версии критериев независимости Спирмена и Кендэлла определили Taskinen, Oja, Randles (2005). Общим недостатком последних трех упомянутых работ можно назвать требование эллиптичности распределений многомерных признаков. Иные подходы к решению описанной задачи предлагали, среди прочего, Питербарг, Тюрин (2000), Möttönen, Koshevoy, Oja, Tyurin (2005) и Schmid, Schmidt (2007).
Большинство рассматриваемых в литературе многомерных вариантов ранговых и знаковых коэффициентов корреляций получены, исходя из интуитивных соображений, связанных с попыткой упорядочить и сравнить многомерные наблюдения. В диссертации предлагается более систематический подход. Сначала мы определяем понятие корреляции векторных случайных величин. Введение матричнозначной корреляционной меры также дополняет работу Тюрина (2008), в которой совершенно по-новому излагается линейный многомерный статистический анализ с использованием матриц как обобщений чисел и заданием «матричного скалярного произведения». Матричная корреляция дает простой способ получить различные непараметрические многомерные корреляционные меры и построить с их помощью многомерные критерии независимости.
Таким образом, тема диссертации представляется актуальной с теоретической точки зрения, и имеет практическую значимость.
Цель работы
Целью данной диссертации является расширение понятия коэффициента корреляции на случай многомерных величин, построение новых многомерных версий ранговых и знаковых корреляций и тестов независимости, исследование статистических свойств предложенных объектов и процедур.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Определена новая матричнозначная корреляционная мера и ее выборочный аналог для пары многомерных случайных признаков. Показано, что матричная корреляция в основных чертах повторяет свойства классического коэффициента корреляции с тем отличием, что роль чисел выполняют квадратные матрицы. В гауссовском случае найдено точное распределение выборочной матричной корреляции (при условии, что многомерные случайные признаки независимы) и

Замечание. Теорема 1.1 обобщает известное свойство иирсоновского коэффициента корреляции г: если {(а:;, )'} — выборка из двумерного нормального распределения с р = 0, то
где величина £п_2 имеет распределение Стьюдента с п — 2 степенями свободы.
В этой связи мы дадим следующее
Определение 1.6. Случайная матрица Ь 6 имеет матричное распределение Стъюдента с V степенями свободы, и > р,
Лемма 1.1. Матричное распределение Стъюдента ортогонально инвариантно, т.е. для 1 ~ Ср(н) выполняется
Доказательство. Используя представление для і из Определения 1.6 и свойство матричного квадратного корня (ОхРКО])1/2 = У¥ Є
Рр, имеем
0ф02 = s/uOiw 2z02 = fv (OiwOj) V2 Oiz02.
В силу Утверждений 1.8, 1.9 и независимости матриц wJL z получаем: OxwO'x ~ Wp(i>) _1L 0)z02 ~ Njj(0, /).
Очевидно, S}(u) есть обычное (одномерное) стьюдентово распределение. Также при q = 1 (и произвольном р) мы получим одну из встречающихся в литературе многомерных версий распределения Стьюдента, заданного при помощи плотности [см. Bilodeau, Brenner, 1999, §13]
Другие многомерные варианты распределения Стьюдента можно найти в Kotz, Nadarajah (2004).
1.5.3 Асимптотическое распределение выборочной матричной корреляции при больших п
Теперь займемся изучением асимптотического поведения выборочной матричной корреляции (вообще говоря, зависимых многомерных величин). Вспомним из теории многомерного анализа, что для выборочной матрицы
t ~ Sp{v) if! t = Jv w 1/2 z, aÄzlw, z ~ Np{0, Ipg), w ~ Wp{v).
t — Oit02, VOx Є Op, 02 6 09.