Асимптотический анализ вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов со случайными параметрами

• Автор: Румянцева, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

1 Вероятности высоких выбросов условно-гауссовских процессов со случайными постоянными параметрами

1.1 Случай степенных хвостов распределения случайных параметров

1.2 Случай ограниченного справа носителя распределения случайных параметров

2 Вероятности высоких выбросов условно-гауссовских процессов со случайными параметрами в виде квадратичной

и линейной функций

2.1 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условногауссовского процесса со случайной дисперсией

2.1.1 Основные результаты

2.1.2 Доказательства

2.2 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов условногауссовских процессов со случайным средним

2.2.1 Основные результаты

2.2.2 Доказательства

3 Вероятности высоких выбросов комбинации двух процессов: стационарного гауссовского и гладкого процесса
3.1 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов произведения процессов

3.2 Асимптотика вероятностей высоких экстремумов суммы процессов
Литература
Изучение вероятностей высоких выбросов случайных процессов и полей представляет собой важную область в теории вероятностей. В настоящее время наибольшее развитие получила асимптотическая теория экстремумов гауссовских процессов (см. монографиии и обзорные статьи: [1], [2], [3],
Разработан целый ряд общих методов для исследования больших уклонений гауссовских процессов. К ним относятся метод сравнений [1], [7], метод моментов [1], [8], а также метод двойных сумм [1]. Эти методы дали возможность получить достаточно полную картину асимптотического поведения вероятностей высоких выбросов.
Дадим краткое описание перечисленных выше методов.
Метод моментов. Этот метод основан на формуле Каца-Райса для среднего числа пересечений уровня случайным процессом (см. [9]). Обозначим А7М(0, /г.) число пересечений снизу вверх уровня и процессом X за время [О, Н. Тогда во многих случаях можно показать, что
Физический смысл этого асимптотического соотношения состоит в том, что выходы за высокий уровень случаются крайне редко, поэтому можно наблюдать не более одного пересечения высокого уровня за фиксированный промежуток времени [О, Ь]. Напомним, что согласно формуле Каца-Райса
гдерг— совместная плотность распределения (X(£), Х'(Ь)). Более того, формула
часто является довольно точным приближением и позволяет получить второй член в асимптотическом разложении Ри(Ь) при и —> со. Существует также и физическое обоснование этого приближения. Может случиться

И], [5], [6]).
Ри(Ь) Р(тах Х(Ь) > и) ~ ЕЫи(0, К) при и -> оо. (1)
Ри{Ь)ъЕ^{0,Н) + Р{Х{Ъ)>и)
(2)
ГЛАВА 2. Случайные параметры, зависящие от времени
Далее для к > 0 (случай к < 0 рассматривается аналогично) в силу свойства стационарности процесса £(£) при условии С, — z имеем
Р( max Et)(l — ^-zt2) > и) <
ЩкТи~1,(к+1)Ти-'1}
< Р( max £(£)( 1 - zk2T2u~2) > и)
te[kTv-(k+l)Tu->]
=Р( max £(i) > и/( 1 - zk2T2u~2)) u(l + l-zk2T2u~2)' е[о,Ги-1] w 2 v Из леммы 6.1, [1] последняя вероятность не превосходит Н2(Т)Ч>(и + lzk2T2u-l)(l + 7 (и)),

где у (и) | 0 при и -7 оо и не зависит от А;, ( и Г. Далее
Ф(« + zk2T2U~l) < 'е-иУ2е-*РТЧ2
2 V2 пи
Переходя теперь к последней сумме в правой части (2.15), получаем что
при условии ( = z ее значение не превосходит
2Ф{«) £ е-“’1"'2 < Щи) Е‘ + 2 Г
к>1 1 ’
= 2Ф(«) (е-'^ + _Щ^е-»’/Ч).
Усредняя по ( и используя, что ЕС,~1!2 < оо, получаем Ф(ы)-1 V Р( max £(0(1 - дС^2) > м) <
' vimi-i /1т4.Г1Ти-п
*>i, *<-i te^^Tu~
Г**1*
1(Т2
при Т —> оо, что и завершает доказательство. Таким образом.
К,2~ еНЦ^Щч). (2.17)
Обозначим Е2(х) := Р ^д/(2х + £)/£ т] = х^. Применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, из условий теоремы получаем Е2(а)