Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами случайной длины

• Автор: Хакимуллин, Александр Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Глава I. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ

ВАРИАЦИОННОГО РЯДА § 1. О методе доказательства

§2. Квантили биномиального распределения

§3. Асимптотика вероятностир(т,г) в случае а! 1пДГ -»со

§4. Распределение максимальных членов вариационного ряда

в случае а/пИ -»со §5. Распределение максимальных членов вариационного ряда

в случае а/1пЛг -» х §6. Распределение максимальных членов вариационного ряда

в случае а/пМ ->0

Глава II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ

ВАРИАЦИОННОГО РЯДА §1. О методе доказательства

§2. Квантили биномиального распределения

§3. Асимптотика вероятностир(т,г) в случае аг/1п77 -> ю
§4. Распределение минимальных членов вариационного ряда
в случае а/ 1п77 со §5. Распределение минимальных членов вариационного ряда
в случае а/1пЛг -> х
Заключение
Приложение 1. НЕКОТОРЫЕ ВОЗМОЖНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИНЫ КОМПЛЕКТА.
§1. Величина комплекта %~В(Ь,р)
§2. Величина комплекта %~р0(п',М,И',т)
§3. Величина комплекта Ь)
Литература

За последние шестьдесят лет в исследованиях по теории вероятностей заметное место занимают вероятностные задачи комбинаторного характера. Одним из интенсивно развивающихся направлений таких исследований является изучение различных схем размещения частиц по ячейкам (см., например, [4.1]).
В настоящей работе рассматривается равновероятная схема размещения частиц комплектами: п комплектов по £,,£2 £„ частиц (размеры комплектов являются независимыми копиями целочисленной случайной величины принимающей значения от I до Ь) независимо друг от друга {Ь< Ы) размещаются в N ячейках, частицы одного комплекта размещаются в ячейках по одной, причем все возможных размещений частиц ]-го комплекта равновероятны. Обозначим ту,- число частиц в ячейке с номером у, у=1 Лг после размещения п комплектов частиц. Располагая в неубывающем порядке величины Г1х ци, построим их вариационный ряд т?(1) <... <
Диссертация посвящена изучению предельного распределения крайних членов вариационного ряда т/(дг_я+1) и ц{т) для любого фиксированного целого
ЕЕ 1 п(ЕЕ)
т> при и,//->оо, а/1пЫ->х, 0<х<оо, 0 <-, где а = ~~~ -
среднее число частиц в ячейке, при выполнении для любого целого неотрицательного к дополнительного условия следующего вида на концентрацию распределения размера комплекта:
{ЕЕ?
(ЛО* лг‘
£*(*-1)^- ’ (*)
где (а)4 = а(а - 1)...(а - к +1).
При Р{Е = 1} = 1 изучаемая схема представляет собой равновероятную схему размещения частиц по ячейкам, за которой утвердилось название классической [4.2].
Изучение вариационного ряда в классической схеме начато
И.И.Викторовой и Б.А.Севастьяновым [5.1] и [5.2], а подробное исследование всех членов вариационного ряда в этой же схеме в случае, когда п/МпЫ стремится к постоянной величине, проведено Г.И.Ивченко [5.5]. В этих работах исследование вариационного ряда сводится к изучению методом моментов асимптотического поведения случайных величин ,(и,ЛГ)++ (и,ЛГ), где /г4 (и,]'/)- число ячеек, содержащих ровно & частиц, к=0,1 г.
В.Ф.Колчиным [5.10] для изучения классической схемы размещения частиц, и в том числе для изучения членов вариационного ряда, предложен другой подход, опирающийся на представление полиномиального распределения заполнении ячеек Цх-.-^н в виде условного распределения распределённых по закону Пуассона независимых случайных величин при условии, что их сумма равна п.
Поведение членов вариационного ряда в равновероятной схеме размещения частиц комплектами при п,И-> оо и фиксированном размере комплектов изучено Е.Р. Хакимуллиным [5.19], при фиксированном п оно изучено С.Ю. Теребулиным [5.17].
Схема со случайным размером комплектов рассматривалась ранее Г.И. Ивченко [5.9], Т.М. Селке [5.28], Е.Р. Хакимуллиным и Н.Ю. Энатской [5.21].В этих работах изучались характеристики, связанные со временем ожидания до заполнения всех или почти всех ячеек.
Многие характеристики в равновероятной схеме размещения частиц комплектами случайной длины могут быть интерпретированы в терминах случайных гиперграфов с кратными гранями. Гиперграфом называется система
Г = {Х;А1 АЯ},
где А— конечное множество, элементы которого называются вершинами, Л} — подмножества X, называемые гранями; каждое А] содержит не менее двух вершин,У=1 7Я. Говорят, что через вершину хеХ проходит грань Л., если хеЛг Число граней, проходящих через вершину х, называется степенью или

Итак, а/г^-0 в условиях леммы 22. Поэтому, используя (54), получаем, что
МВ{г,п,Е^1М)=т{г,п,Е^т)^
*5^1 Ь{г,п,Е£ / Ы)
т(г,п,Е^т)^
/ а
Лг)
•о,
т(г-и,Е%/^=т{г,п,Е%/м{1+ £
I *=г+1 Ьг ,п,Е%/Ы))
Далее
ДВ{г-2,п,Е^1Н)>т{г-,п,Е^И)=т{г,п,Щ(^Н >
N ){п-г + )Ес,
>_ыЕп,щ±^т^
I, N) а
оо.
Лемма 23. В условиях леммы 22, начиная с некоторых значений параметров, справедливо неравенство
пЕ%>[П. (85)
Доказательство. Предположим сначала, что а >а0, где а0 положительная постоянная. Тогда, начиная с некоторых значений параметров, будут выполнены соотношения пЕЕ, = Да > Ыа0 > 1~Ы.
Поэтому для завершения доказательства леммы осталось рассмотреть случай а -» 0.
Поскольку при 0 < х < ,п >
(1-х)" > 1-ид: в условиях леммы выполняются соотношения т(0,п,Е^/д)= N(1-Е^/ы)п >//(1-а)->оо,
(86)
т{, и, ЕШ) = пЕ%(1 - Е£ / ЛГ)"'1 > п(1 - а)Е$ -> со.
По условию леммы
М>(2,и,££/Л0>|. (87)
Следовательно, из (86) и (87) получаем, что, начиная с некоторых значений параметров, будет выполнено соотношение