Усиленный закон больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин

• Автор: Корчевский, Валерий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 69 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
2 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами второго порядка
3 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами порядка/л где 1 < р < 2
4 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами первого порядка
5 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин без предположения о существовании моментов первого порядка

§ 1. Введение

Рассмотрим последовательность случайных величин {Хп}^1; заданных на вероятностном пространстве принимающих значения в М1. Обозна-
чим Бп — £”=1 Хк, та ^ 1. Будем говорить, что последовательность удовлетворяет усиленному закону больших чисел, если существуют последовательность вещественных чисел {с4}“=! и неубывающая неограниченная последовательность положительных чисел такие, что

Первые теоремы об усиленном законе больших чисел для последовательностей случайных величин были получены при условии независимости с классической нормировкой (а„ = та, та ^ 1). Дальнейшие исследования были связаны с поиском новых достаточных условий применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям независимых случайных величин, а также обобщением классических результатов в различных направлениях. Одним из таких направлений является отказ от предположения о независимости и получение результатов о применимости усиленного закона больших чисел к различным классам зависимых случайных величин (мартингалов, ассоциированных случайных величин, последовательностей случайных величин с условиями перемешивания и т.д.). Другим направлением исследований является обобщение результатов об усиленном законе больших чисел на последовательности случайных элементов, принимающих значения в ВД а также в более общих измеримых пространствах. Третьим направлением является обобщение результатов об усиленном законе больших чисел с заменой классической нормировки на произвольную нормирующую последовательность.
Цель настоящей диссертации — получение новых результатов об усиленном законе больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин.

Ограничиваясь рассмотрением последовательностей случайных величин, принимающих значения в М1, мы приводим ряд результатов, обобщающих известные теоремы об усиленном законе больших чисел на более общие классы зависимых случайных величин, а также результаты, обобщающие известные теоремы с классической нормировкой на случай произвольной нормирующей последовательности. Кроме того, мы приводим новые достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям зависимых случайных величин, новые результаты о сходимости почти наверное рядов зависимых случайных величин, а также исследуем связь между некоторыми классическими условиями в теоремах об усиленном законе больших чисел для последовательностей как независимых, так и зависимых случайных величин.
Основные результаты диссертации применимы к последовательностям неодинаково распределенных случайных величин.
Известно множество результатов, связанных с усиленным законом больших чисел как для независимых, так и для различных классов зависимых случайных величин. Значительная часть таких результатов включена в монографии, посвященные предельным теоремам для различных классов случайных величин. В книгах Петрова [12], [16], [46] содержится обширный материал об усиленном законе больших чисел для последовательностей независимых случайных величин, в книге Холла и Хейде [33] — для мартингалов, в монографиях Булинского и Шашкина [1] и Оливейры [45] — для ассоциированных случайных величин, в монографии Лина и Лу [37] — для случайных величин с условиями перемешивания. Большое количество результатов об усиленном законе больших чисел для независимых, а также различных классов зависимых случайных величин приведено в монографиях Стаута [51], Дэвидсона [28], Чандры [24], а также в статье Фазекаша и Клесова [32]. Результаты об усиленном законе больших чисел для стационарных, квазистационарных, а также родственных им классов случайных величин содержатся в работах Гапошкина [2] [4], Лионса [38], Морица [43], [44], Петрова [13], Серфлинга [50], Сунга [53], Ху, Розальского и Володина [34], Ху и Вебера [35], Левенталя, Салехи и Чобаняна |7], [26], Яськова [22]. Результаты об

ии / С п ОО гт> ^2 п
У>( шах ^ >е
—' V 1<*,<2п п.ппл. 1 / ^ ' п.„ ., ^ ^-—^

С ^ ЕГ:2п+1 ^ с ^ Е2::: ЕХ1 <
£^ ^1 а2"+1 £^ ^ а2”+1 С А а2 С °°
, С ^ а$п С ^
^ Л X, 4^(2") “ ^ 2^ ^) < °°- (2-60)
п—2 А ' п=
Ряд в правой части (2.60) сходится в силу леммы 1.6. Таким образом, (2.59) выполнено. Теорема доказана. □
Следующий пример показывает, что в теореме 2.23 нельзя опустить условие (2.13).
Рассмотрим последовательность положительных чисел {а,7г}^=1 такую, что ап — 2"/2, ?0 1. Построим последовательность независимых случайных величин {Х„}()Т1 следующим образом. Для тг — 1 или 2 случайная величина Хп принимает значения 1 и —1 с вероятностями, равными 1/2. Для п ^

Хп — 2'^2, с вероятностью
Х?г - -2"/2, с вероятностью Хп = 0, с вероятностью
4п(п - 1) ’
п — 2 4 п{п — 1) ’

2 п{п — 1)
Тогда ЕХп = 0 для всех п ^ 1, ОХ = 0X2 = 1.
„ _ п — 2 2'1-Чп-2) 2" 2"~
ОХп = 2-2 —-----------— = — — = для гг ^ 3.
4гг(гг — 1) пп — 1) гг п —
Имеем

— — для и ^ 3. п