Неоднородные процессы риска

• Автор: Кудрявцев, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 с. : ил

Содержание
Введение

Глава 1. Основные понятия

1.1 Слабая сходимость последовательностей случайных величин и функций распределения

1.2 Случайные процессы

1.3 Обобщенные процессы риска

Глава 2. Предельные теоремы для одномерных распределений обобщенных процессов риска в схеме серий

2.1 Предварительные сведения

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Теорема переноса для проекций обобщенных процессов риска

2.4 Частичные обращения теоремы переноса

2.5 Слабая относительная компактность одномерных распределений обобщенных процессов риска
2.5.1 Условные обозначения и вспомогательные утверждения
2.5.2 Необходимые и достаточные условия слабой относительной компактности проекций обобщенных процессов риска
2.6 Критерий слабой сходимости одномерных распределений некоторых обобщенных процессов риска
Глава 3. Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска
3.1 Предварительные сведения
3.2 Вспомогательные утверждения
3.3 Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска в схеме серий

3.3.1 Общая теорема
3.3.2 Функциональная центральная предельная те-
орема для неслучайно центрированных обобщенных процессов риска
3.3.3 Функциональный закон больших чисел для не-
случайно центрированных обобщенных процессов риска
3.3.4 Сходимость нецентрированных обобщенных процессов риска в пространстве V
3.4 Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска на бесконечном интервале
3.4.1 Сходимость последовательности случайных про-
цессов, порожденной обобщенным процессом риска
3.4.2 Функциональные предельные теоремы для "нарастающих" обобщенных процессов риска
Глава 4. Вероятность разорения в неоднородном процессе
риска с фиксированным числом выплат
4.1 Предварительные сведения
4.2 Общий вид формулы для вероятности разорения
4.3 Рекуррентные соотношения для вычисления вероятности разорения
4.4 Примеры
4.5 Распределение момента разорения в неоднородной дискретной модели риска
Список литературы

Введение
Краткая история вопроса.
Как известно, в основе всех актуарных задач лежит неоспоримое присутствие случайности. И хотя принято считать, что история страхования берет свое начало со времен возникновения частной собственности, первые попытки применения статистических исследований к вопросам страхования относятся лишь к середине XVII столетия и связаны с именами таких ученых как Дж. Граунт, В. Петти и Э. Галлей. В те времена теория, изучающая случайность, находилась в зачаточном состоянии. Лишь в первой половине XX века терия вероятностей, теория случайных процессов и математическая статистика сформировали достаточную базу для систематического изучения страхования. Появилась теоретически обоснованная возможность изучать не только вопросы безрискового страхования (страхования жизни), но и вопросы, связанные со страхованием "риска потери" части целого (например, дома или автомобиля).
Основы математической теории рискового страхования были заложены в начале прошлого века и связаны с именами Г. Крамера и Ф. Лундберга (см. работы (Lundberg, 1903), (Lundberg, 1926), (Cramer, 1930)), кроме того, подробное описание математических методов теории риска можно найти в монографиях (Seal, 1969), (Bühlmann, 1970), (Beard, Pentikäinen, Pesonen, 1978), (Gerber, 1979), (Teugels, 1985), (Bowers et al., 1986), (Grandeil, 1992), (Panjer, Willmot, 1992), (Daykin, Pentikäinen, Pesonen, 1994), (Бенинг, Королев, 2000b). В рамках этой теории выделились две основные модели страхования:
• модель индивидуального риска (по терминологии (Cramer, 1955), (Bowers et al., 1986), (Panjer, Willmot, 1992)) или статическая модель страхования (по терминологии (Ротарь, Бенинг, 1994)) описывает ситуацию, в которой рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель), сформированная единовременно, страховые премии собраны в момент формирова-

Обозначим
hn(s) = exp {kn(vn(s) - 1)}, A, (A) = P(A n/kn < A).
Пусть e > 0 — произвольное малое число. Из приведенных выше соотношений вытекает, что для любого положительного М справедливо неравенство
I/ (s) - дп{з) | <
- JqM hn ^ ~ И dAn ^ + Sm ^ ~ bX ^1 dAn ^ -
= h(n)+I2{n). (2.3.11)
В силу слабой относительной компактности семейства функций распределения {Ап(х)}п>г, обусловленной соотношением (2.3.2), существует такое М = М(е) > 0. что

h (п) < 2 / dAn (А) < 2 sup [1 - Ап (М)] < е. (2.3.12)
J М п
Рассмотрим 1{п). Отметим, что, поскольку выполнено условие (2.3.1) и кп —* оо, характеристическая функция h(s) безгранично делима и, стало быть, ни при каком s € IR не обращается в нуль. В силу условия (2.3.1) hn(s) —> h(s) при п —> оо (см. (2.3.10)), и, следовательно, найдется такое щ, что все точки hn(s) будут лежать внутри круга с центром в точке h(s) и радиусом, равным, скажем, h(s)/2, для всех п > щ. Следовательно
|othn (s) + (1 — a) h (s) I > J 7T~u
начиная с no, так как точка ahn(s) 4- (1 — a)h(s) лежит внутри этого круга.
Полагая теперь в лемме 2.2.1 Ф(г) = zx, при каждом А > 0 мы получаем очевидное неравенство
IKi (s) ~(s) I ^ А|hn (s) -h(s) I sup Iahn (s) + (1 - a)h (s) |A_1 <

2Xhn(s) -h{s) I h(s)
Поэтому, для всех n, начиная с по, справедливо неравенство
т / ^ 2Mhn{s) -h{s) I
11 (n) 5 jhwi—'