Усиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма для последовательностей независимых случайных величин

• Автор: Микош, Томас
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 132 c. : ил

Глава I. ОДНОСТОРОННИЕ ЗАКОНЫ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДДЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ I. Некоторые предварительные результаты
§ 2. Условия, обеспечивающие конечность верхнего
предела нормированной суммы независимых одинаково распределенных случайных величин
§ 3. Односторонние законы повторного логарифма для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин, хвост общего распределения которых меняется медленно
Глава 2. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИША ДЛЯ ПОЛЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ I. Необходимые и достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к полям независимых случайных величин
§ 2. Применение результатов параграфа 2.1 к полям независимых одинаково распределенных случайных величин
§ 3. Необходимые и достаточные условия применимости закона повторного логарифма к полям независимых случайных величин
Глава 3. ЗАКОНЫ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМ ТИПА ЧОВЕРА
§ I. Законы повторного логарифма типа Човера для последовательностей независимых одинаково распределенных величин
§ 2. Законы повторного логарифма типа Човера для полей независимых одинаково распределенных случайных величин
ЛИТЕРАТУРА
ОБОЗНАЧЕНИЯ, СОКРАЩЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ

Введение содержит обзор результатов, касающихся усиленного закона больших чисел (УЗБЧ) и закона повторного логарифма (ЗПЛ) для последовательностей независимых случайных величин. Краткий обзор результатов об УЗБЧ и ЗПЛ для полей независимых случайных величин содержится в начале параграфов 2.1 и 2.3.
Всюду в этой главе [Хп] - последовательность независимых слу-

чайных величин, $п = IIX-; у $0 = 0, [ ап] - последовательность положительных чисел. <
В теории суммирования случайных величин изучается поведение величин и их распределений при п —>00 . Особенный интерес вызывают центральная предельная теорема (ЩТГ), УЗБЧ и ЗПЛ. Настоящая работа посвящена УЗБЧ и ЗПЛ.
Будем говорить, что последовательность [3<ГП3 удовлетворяет УЗБЧ с нормирующей последовательностью постоянных {ап} , если существует последовательность постоянных {Ьп1 такая, что
/т (Зп ~-Ьп) =0 п.н. (0.1)
Если соотношение (0.1) выполняется, то Ьп = тпес1 $п + о (а„) . Поэтому можно ограничиться рассмотрением соотношения
Хт а'1 (Вп~ тес1 $п) - 0 п.н. (0.2)
Екце основатели современной теории вероятностей нашли условия применимости УЗБЧ к последовательностям независимых случайных величин. Э.Борель [53] получил следующий результат: если {}£} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных
х) Список сокращений, обозначений и соглашений см. на последней странице.

величин, Р(ЗС = 0) = Р(Х=1)= j , то имеет место соотношение
Лт П'1($п-Е$п) =0 л.н. (0.3)
Ш.Кантелли [55] доказал УЗБЧ для последовательностей независимых, не обязательно одинаково распределенных случайных величин. Название "УЗБЧ” было введено А.Я.Хинчиным [48]
Самыми известными результатами в области УЗБЧ являются так на-

зываемые УЗБЧ Колмогорова [99] : если Ц п ЭХП * о° , то имеет

место соотношение (0.3). Если же [Хп1 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, то соотношение (0.3) вытекает из условия EIXH <*>
Другие важные результаты, касающиеся УЗБЧ, были доказаны в работах Н.А.Володина и др. [I], Дермана, Роббинса [62] , В.А.Егорова [5], [8], Кавата [90], Леви [103], Лоэва [22], Маллера [105] , А.И. Мартикайнена [25] , А.И.Мартикайнена, В.В.Петрова [23], [26] , Марцин-кевича [109] , С.В.Нагаева [31], С.В.Нагаева и др. [32], В.В.Петрова [Зб], [39], Ю.В.Прохорова [42], [43], [44], Пруитта [119], [120] , Серф-линга [125] , Тайшера [133], Феллера [69] , Хейди [87] , Чжуна [58], [59], Эббота и Чоу [49], Эриксона [б4]
Особенный интерес вызывают условия, являющиеся необходимыми и достаточными для применимости УЗБЧ к последовательностям независимых случайных величин. Такие критерии были найдены Ю.В.Прохоровым [42] для соотношения (0.3) и Лоэвом [22] для более общих последовательностей нормирующих постоянных. А.И.Мартикайнен и В.В.Петров [23] нашли критерий применимости УЗБЧ к последовательностям независимых случайных величин без каких-либо моментных ограничений и при условии an too

к+к° .,-М
В силу леммы Теплица и условия Беар Щ сГ + оо для того,
к*и
чтобы доказать (2.1.2), достаточно, чтобы показать
с1~* тах- 1$хлсу)1 = ^ п>М' (2.1.7)
^ -> «7 V & 11 £
Из неравенства Леви для полей (см., например, [14] ) следует
?,(£) = ?(|7М* 1^ , , |>£^}^гГР(|^ >Ы*)
1 ЧЬТ, Лп^>
-С- оо
для любого Е > О . Из (2.1.1) вытекает П ?„(е)<оо . Тогда,
используя лемму Бореля-Кантелли, получим (2.1.7). Таким образом, соотношение (2.1.2) доказано.
Эквивалентность условий (2.1.1) и (2.1.3) очевидно в силу леммы Бореля-Кантелли и независимости 7 кг=

Пусть выполняется (2.1.3). Имеет место соотношение
<Г% = 114'МЫ'"%
Учитывая лемму Теплица, условие 5чр Щ с[~к+^оо и соотношение
у у к?'!
(2.1.3), получим условие (2,1.4).
Пусть выполняется (2.1.4). Соотношение (2.1.3) вытекает непосредственно из неравенства
сГк 1£т I | +а'|г[£» I-
-к -V
Если же = { П: ап 4(1*1 для некоторого с1>1 , то условие
(2.1.4) следует из соотношения (2.1.5).
Пусть выполняется (2.1.4), Для ^ с1к] имеем
}-'п х„|^-м1е: хли-м} у„1. <2.1.8)
.КО
Первое слагаемое на правой стороне (2.1.8) стремится к нулю при к->оо с вероятностью 1 в силу условия (2.1.4). Второе ела-