Оценки скорости сходимости в предельных теоремах со случайным индексом и некоторые их применения

• Автор: Гавриленко, Семен Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Содержание
Введение
1 Аппроксимация распределений статистик, построенных по выборкам случайного объема с отрицательным биномиальным распределением
1.1 Особенности статистического анализа при случайном объеме выборки
1.2 Асимптотика равномерного расстояния между отрицательным биномиальным распределением и гамма-распределением
1.2.1 Асимптотика в точке
1.2.2 Асимптотика на конечном отрезке
1.2.3 Равномерная оценка на всей прямой
1.3 Оценки скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента
1.4 Оценки скорости сходимости распределений статистик, построенных по выборкам случайного объема с отрицательным биномиальным распределением, в терминах сглаженной равномерной метрики
2 Оценки скорости сходимости отрицательных биномиальных случайных сумм
2.1 Аппроксимация распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при р —>■ 0
2.1.1 Равномерная оценка скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм
2.1.2 Оценка скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм к масштабным смесям нормальных законов
2.2 Аппроксимация отрицательных биномиальных случайных сумм при т —^ оо

2.2.1 Скорость сходимости распределений случайных сумм с безгранично делимыми индексами
2.2.2 Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений отрицательных биномиальных случайных сумм
2.3 Оценки вероятности разорения страховой компании, резерв которой описывается классическим процессом риска .
3 "Уточнение неравномерной оценки скорости сходимости распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону
3.1 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ с уточненной структурой
3.1.1 Случаи (1) и (ш), т. е. «малые» и «большие» значения х
3.1.2 Случай (п), т. е. «умеренные» значениях
3.1.3 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ
3.2 Неравномерная оценка скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм
3.3 Неравномерные оценки скорости сходимости в предельных теоремах для смешанных пуассоновских случайных сумм .

Введение
В классической математической статистике принято иметь дело со статистиками (то есть измеримыми функциями от имеющихся данных), построенными по выборкам неслучайного объема. Такие статистики хорошо изучены, чаще всего их распределения являются нормальными либо асимптотически нормальными, причем во втором случае, как правило, известен способ оценивания точности аппроксимации нормальным распределением. По-видимому, причина такой ориентации на работу с выборками неслучайного объема лежит в стереотипе восприятия сути задач статистического анализа, когда конкретный статистический вывод делается по конкретной выборке с конкретным, известным объемом. Вместе с тем целыо теоретической статистики является конструирование методов или процедур, оптимальных при любых возможных значениях считающихся случайными наблюдений. Однако на практике мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда объем доступной статистической информации (выборки) заранее (то есть на этапе выбора статистической процедуры для обработки этой информации) не известен, а его конкретное значение становится известным лишь по окончании формирования массива статистической информации. Другими словами, эксперименты редко проводятся до «получения п-го», скажем, 1500-го наблюдения. Как правило, фиксируется не количество наблюдений, а время для сбора информации. Например, сложно заранее оценить число поломок устройства бытовой техники за год или число страховых событий, зарегистрированных в страховой компании в течение отчетного периода (как правило, года). Таким образом, часто число доступных наблюдений (объем выборки) само является наблюдением, и в рамках подхода, традиционного для теоретической статистики, должно заранее считаться случайным. Поэтому в таких случаях для статистического вывода более целесообразно использовать статистики, построенные по выборкам случайного объема. При этом часто можно предполагать,

Применив теорему о среднем, а затем теорему Лагранжа, получим
Як(г,р,х) = е 1+вк) (—{к - 1 + дк) — - — (—е "я
гд ) гд гд гд/
Р ( Рік-1+9к) /р{к - 1 + вк) V"1 _ /Р^1 е~*Л
гд V Г(1 } Г(і) )

Здесь точка лежит между точками ^ и р^к т. е. также на
частичном сегменте ~|]. Заметим, что производная функции
е-г*я;г-1 равна
е"га(-гжг-1 + (г-1)хг“2).
Поэтому,
я(г,р,х) (“) (е_ге,г Кг1 + (г-щ~2))•
В правой части этого неравенства легко заметить интегральную сумму, вспомнив, что п — А значит,

^ С • У е-гу(гуг-1 + (г - 1)уг"2) (1у ^ С-1 ё~ггуг~х + (г - 1)уг~2) А/.

Интеграл в правой части сходится для г ^ 1. Поэтому в этом случае Щг,р,х) ^ Д(р) = 0(р).
2°. О < г < 1, х Е [0, о]. В этом случае

Лк(г,р,х) = / е ГНГ 1<И - — ^
7 г (*-і)р

/ 1 г—
р I кр _вк
е я =

гд Г—
= е-!(*-1+»,) / Р т "
7 гд гд
(*-і)р