Вероятностно-геометрические свойства случайных множеств

• Автор: Берлинков, Артемий Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 78 с.

0.1 Случайные рекурсивные конструкции

0.2 Сведения из теории меры

0.3 Обзор результатов

0.4 Дальнейшие обозначения

1 Законы нуля или единицы

ф 2 Размерности случайных рекурсивных множеств

3 Упаковочные меры случайных рекурсивных множеств

3.1 Оценка упаковочной меры в размерности множества

3.2 Оценка точной упаковочной размерности сверху

3.3 Оценка точной упаковочной размерности снизу

4 Деревья Гальтона-Ватсона

5 Случайно порожденные вероятностные распределения
6 Примеры
Заключение
Литература

В данной диссертации рассматриваются случайные фракталы общего типа и некоторые вопросы размерности и мер, связанные с ними. Прежде различные авторы изучали свойства случайных фракталов относительно мер Хаусдорфа, определенных еще в начале XX века. В середине 80-х годов были определены упаковочные меры как в некотором смысле двойственные мерам Хаусдорфа. Мы проводим исследование свойств случайных фракталов с точки зрения упаковочных мер. Данная тема обсуждалась в литературе в значительно меньшей степени.
0.1 Случайные рекурсивные конструкции
Рассматриваемые случайные фракталы возникают в результате случайной рекурсивной конструкции, впервые определенной в работе Молдина и Вильямса ([37]). Простым примером случайного фрактала является случайное 4 капторовское множество. Для его получения независимо выбираются два
случайных числа согласно равномерному распределению на интервале [0,1], и из трех образовавшихся интервалов берутся правый и левый, а средний отбрасывается. В каждом из полученных интервалов процедура повторяется в соответствующем масштабе и т. д. Случайное канторовское множество определяется как множество точек, принадлежащих сохраняемым интервалам после каждого шага конструкции. Случайный фрактал получается с помощью процедуры, аналогичной процедуре построения канторовско-го множества, причем механизм сохранения частей исходного множества ф на каждом шаге носит более общий характер. Сейчас будет дано точное
определение этой конструкции.
Пусть п Е IX и {оо}, п > 2, Д = {1,2 п}, если п € М, и Д = 14,

если П = ОО, А* = и А-7 является множеством всех конечных последовало
тельностей элементов А, а Дк множеством всех их бесконечных последовательностей. Результат составления из двух последовательностей о и г из А* одной путём выписывания их соответствующем порядке обозначается

а * т. Длина конечной последовательности а обозначается а. Если /сеЕ и а является последовательностью длины не меньше к, то последовательность, составленная из первых к элементов <т, обозначается оД.
Случайная рекурсивная конструкция состоит из семейства J = {Заа е А*} случайных компактных подмножеств И*1, заданных на некотором вероятностном пространстве (П, X, Р). При этом параметризующее множество последовательностей естественно рассматривать как дерево. При п < оо мы будем говорить о конечном ветвлении, при п— оо о бесконечном. Начальное множество 3$ = 3 предполагается фиксированным и таким, что 3 = С1(1пб(1/)). Без потери общности мы предполагаем, что (Наш (.7) = 1.
Данные семейства случайных множеств должны удовлетворять следующим свойствам:
1. Отображения ш —» За(ш) измеримы относительно X,
п. Множества За, если они не являются пустыми, геометрически подобны 3,
111. За*{ является собственным подмножеством За для всех а б А* и г б А при условии, ЧТО За ф 0,
1у. Конструкция удовлетворяет условию случайного открытого множества: если о и т являются двумя последовательностями одинаковой длины, то 1пДЗф) П 1пДЗт) = 0,
V. Существует последовательность независимых случайных векторов
Та = (Т„и...,Тот), (Тб А*,
таких что выполнено соотношение (НапфДД = сИат{За)Та^. При этом вектора Та условно независимы при условиях, что За ф и при этом же условии имеют то же распределение, что и Тд = (Тх,, Тп). Иными словами, для любого конечного множества 5 С А* и любого набора борелевских множеств В8 С [0,1]д, э б <5,
Р(Т, б В, V* б БЗа фФУзеБ) = ДР№ € Ва3. ф 0),
1А, В С Ш.1* геометрически подобны, если существуют 5 : —► К1* и г > 0, такие что для любых
х, у е В,11 Н181(5(т), Б (у)) — г сЦвЦг, у) и 5(Л) = В, при этом 5 называется отображением подобия.
Теперь рассмотрим г > 4/3 + 4, и предположим, что До было выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенство Д^ < До < Д- Предположим, что ТО ~ * ^ Иэ неРавенеТВа (ЗЛ0) мы ВИДИМ, ЧТО
Я({Ук,т < а}п7Ъ^) <Р{0 < X < а/5*(-ь)у^-к)
< с2с/Нт-к)&~ар(-т-к)ь(т-к) < К1а0+1 < <3(Х < а).
Теперь обозначим через Л/” функцию распределения стандартной нормальной случайной величины, а через <г дисперсию X относительно Р. Снова по неравенству (3.10) получается
Р{.{Ук,т 5; П Nk+so,m)
. v(m-k) v . v(m-k)
<р(о< Y, Х[<а/5^т-кЛ <р{ Y X'i
' І-1
v(m-k)
J 5 X>-V{m-k) ,1-у{т-к)
sy/v{m~k) Sy/v(m - k))
Поскольку у X существует конечный момент порядка г, мы можем применить теорему о неравномерной оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме (см., например, [2]). Используя неравенство v(m — k) > 2, мы продолжаем
<Щ- №~к)/2/%) + С^-{т-к)г/2 < Сфо{т-к)г/2 (3.11)
для некоторых констант Сз, Сі > 0, зависящих только от распределения X и от г, и для всех достаточно больших т — к. Поскольку log д0 > log Д по выбору до и log /і = о I log б I, мы видим, что последний член в неравенстве 3.11 не превосходит Ка.Р+х, а поэтому и Q(X < а), если
m-k > 2(fl+1)llog°l і 2| log С a - log ^rl > |loga| | 2|IogC4 - log^il
r log До r log До — 2a|log5| r log до
Отсюда следует заключение предложения.