Ренормализационная группа в N-компонентных моделях статистической физики

• Автор: Степанов, Роман Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 123 с.

4 Введение

1 /^-компонентные поля в евклидовом и р-адическом пространствах

1.1 Общие определения и обозначения

1.2 (а — 3/2

1.3 (4 —

1.4 Случай р-адического пространства

1.5 Сравнение (а — 3/2с?)- и (4 — (/)-разложений

^ 1.6 Доказательство теорем о контрчленах

1.7 Вычисление вершинных частей фейнмановских графов

2 2//-компонентная фермионная иерархическая модель

2.1 Описание модели

2.2 Свойства преобразования ренормгруппы
2.3 Неподвижные точки преобразования РГ
3 //-компонентная бозонная иерархическая модель

3.1 Описание модели
3.2 е-разложения
3.3 Связь между фермионной и бозонной моделями
4 Задачи комбинаторной оптимизации в ультраметрических пространствах
4.1 Алгоритмы решения ЗКО

4.2 Средние значения оптимальных решений ЗКО
Заключение
Список литературы

Состояние систем с большим числом степеней свободы в статистической физике обычно описывается с помощью гиббсовских случайных полей. Увеличение масштаба в таких системах соответствует переходу от одного гиббсовского случайного поля к другому с помощью операций суммирования и нормировки. При этом речь идет о суммах сильно зависимых случайных величин. Один из возникающих вопросов - это вопрос отыскания случайных полей, инвариантных относительно этого преобразования.
Рассмотрим вещественное сОмерное У-компонентное случайное поле
€(Л) = (^(Аг),...ІЄИ*))єК^ к = (к1 к(1)е% М&(к)
ется на £(&), - это стационарность случайного поля в узком смысле: для любого заданного а поле £'(&) = £(к + о) имеет то же распределение, что и поле £(к). Второе условие - это О(У)-симметричность: для любой ортогональной матрицы А размерности У х У случайное поле С (к) = А£(к) имеет то же распределение, что и поле £(к).
Разобьем решетку ТА на кубы Уп{к) со стороной п и объемом пА:
Уп(к) = {і Є іА : п(кі - 1) < і, < пки і = 1 б?}.
Определим векторное случайное поле (п{к) = (ф,тД), ■ • • і £іг,п(&)) по формуле
а - некоторый параметр модели. Пусть Р - распределение вероятностей случайного поля £(&), Д^Р - распределение вероятностей случайного
где НА - целочисленная решетка. Первое условие, которое обычно налага-
(0.1)
ІЄКЦА0
х П *&& [ А’я:ра(я) П аС«)^
(ьит1,у2,т2)е1(0) (у,т)еЕ(С)
= Е Е Е Е I] Пл «* П 6с,а2х
г=1 У,...уг в {С1 СГ} г| 221, =1 «=1 («1,т1,И2,ш2)€Ь(С?)
и,с?,с о,
У(в,)=Ц ‘‘■-■’а*«

П0(0,0 [?ав, с,М П ''«,№)<*«
;=1 ^ (и,т)еЯ(ё)
= Е2 X) ]Е 51 X X П
г=1 К1 Т^. в1 *Г>1 {<51 С>} G:UjGjCG =1 (у1,т1,У2,т2)€
V(GJ)=VJ) , '^А _1 ЦС)и,Д(^)
1ОД)|=2^ «„
X п (0(0,) п
;=1 (ы,тиу2,т2)еЦО^
I Раси...,оМ) П

(и,т)е.Е(ё)
Применяя лемму 1.4 к подграфам (п (?г, можем записать: АЯ.<Нк1Нк2...Нкп>св
= Ё ЕЕ Е По(с,)5„(с,)х
г=1 у, К 8Ь...,вг>1 {Сь.,.,0,} ;
У( ЛГ г
х Е ГН; ?,.,Е П _<в
*11-1*5»! =и'-1 (1)1,тьг;2,Ш2)€Ь(С)
J ?о{я) П

(и,т)€.Е(С)
где суммирование ^ выполняется по всем связным фейнмановским гра-_ ё
фам (?, построенным на г вершинах со степенями 2^1... 2$г.