Фильтрация волатильности и мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви

• Автор: Селиванов, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

1. Исторический обзор
2. Теория арбитража
3. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви
4. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени
5. Безарбитражность моделей с операционными издержками
6. Структура работы
7. Апробация диссертации
Глава 1. Мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви
§ 1.1. Вспомогательные определения и утверждения
§ 1.2. Экспоненциальная модель Леви:
конечный временной горизонт
§ 1.3. Экспоненциальная модель Леви:
бесконечный временной горизонт
§ 1.4. Экспоненциальная модель Леви с заменой времени:
конечный временной горизонт
§ 1.5. Экспоненциальная модель Леви с заменой времени:
бесконечный временной горизонт
Глава 2. Оценивание волатильности в моделях с заменой времени
§ 2.1. Вспомогательные определения и утверждения
§ 2.2. Компенсатор меры скачков и процесс плотности
§ 2.3. Фильтрация замены времени
Глава 3. Безарбитражность моделей с операционными издержками
§ 3.1. Вспомогательные определения и утверждения
§ 3.2. Основной результат
§ 3.3. Доказательство основного результата
Список литературы
Указатель обозначений
Указатель терминов

1. Исторический обзор. Зарождение финансовой математики принято связывать с диссертационной работой Л. Башелье 1900 года (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением). Однако первый серьезный вклад в развитие теории относится лишь к середине века — работам Г. Марковитца 1952 г. [59] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), У. Шарпа 1964 г. [70] (теория САРМ) и некоторым другим. Следующим важным достижением являются известные работы Ф. Блэка, М. Шоулса [19] и Р. Мертона [60], опубликованные в 1973 г. В этих работах авторы находят рациональную (еще называемую справедливой) цену опциона-колл, предполагая, что цена акции образует геометрическое броуновское движение (т.е. экспоненту от броуновского движения со сносом). Указанные работы и возможность практического применения результатов положили начало быстрому и продуктивному развитию теории. Основные понятия, цели и результаты можно найти в монографиях [7], [8], [11], [32], [37], а также в обзорных статьях [13], [14].
Поскольку основная сложность финансовой математики происходит из-за наличия на рынке неопределенности, то математическим основанием этой науки в значительной мере является теория вероятностей.
Выделяют три основные задачи финансовой математики, так называемые ’’три колонны теории финансов” (см. [1; введение]):
I) оптимальное размещение ресурсов;
II) нахождение стоимости активов;
III) управление риском.
1.4 Модель с заменой времени и конечным временным горизонтом

Доказательство, (i) Поскольку т и X — независимые процессы, мы можем предположить, что они заданы на различных вероятностных пространствах (^1,^1, Pi) и •F'li Рг) соответственно, Г2 = fti х П2, Р = Pi х Р2
Рассмотрим пространство (^Хг, Рг) • Можно предположить, что X — канонический процесс на D{R+). Если X монотонен, то
Ма = 0 •
Рассмотрим случай, когда X не является монотонным процессом. Доказательство теоремы 1.11 показывает, что для любого п £ N существует мера Р2 ~ Рг такая, что процесс (eAt)t6[o,n] является {Xх, Рг)-мартингалом и при этом P^l^x = P2I.F* f°r т ^ п- Положим
dPV;Tx
Г7П ___ * t
1 dP2Ti<
Тогда Z = Z” для О Р t Р п р т. Следовательно, существует Ф процесс {Zt)m такой, что Zt = Z для 0 ^ t ^ п. Процесс Z
строго положительный [Г*, Рг)-мартингал, ЕрZt — 1, произведение Zex — также {Xх, Рг) -мартингал (см. [46; ch. Ill, prop. 3.8]).
Из независимости Хит мы получаем, что ЕрZTT = 1 и Р(ИТг>0) = 1. Следовательно, Р := ZTTР — это вероятностная мера, эквивалентная Р.
Для любого s
Ер 2Ztex’ = Ер2 Ер2 (Zt ех‘ Хх) = ЕР tZ,ex- = 1,
следовательно, для любого и £ [О, Т], мы имеем
EpSu = EPlEp2ZrT(oJl)eA^'“i) = 1.
Для любых si^...^sn^s^i^u; и любых Ai,... ,Ап £ В(К),
ЕР2ZW ехЧ (ехч £ А сХвп £ Ап)
= ЕР2Ztex4{...) = ЕР2Zsex’I{...) = ЕР2Zwex‘I{...),