Сходимость числовых характеристик сумм независимых случайных величин

• Автор: Даугавет, Александр Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 66 c. : ил

Пусть - независимые случайные величины или

векторы со значениями в К.-мерном евклидовом пространстве и пусть Зге - их нормированная сумма. Мы будем предполагать, что выполнены условия, при которых последовательность таких сумм сходится по распределению к некоторому случайному вектору Е.
В диссертации исследуются вопросы, связанные со сходимостью при математических ожиданий Е -^ [5а) к Е ^(Е) при

некоторых, по возможности слабых, ограничениях на функцию

В частном случае степенной функции ^ и нормального предельного распределения достаточные условия такой сходимости были получены С.Н. Бернштейном П7 и Зарембой [2б]. Браун в [14-15] обобщил эти результаты на случай произвольного безгранично делимого предельного распределения. Необходимые и достаточные условия сходимости к :Щ(г) в более общей
ситуации, когда функция ^ принадлежит некоторому широкому классу функций, а случайные векторы принимают значения в произвольном банаховом или гильбертовом пространстве, были получены

В.М. Кругловым в [5] > [б] и [23 ]

В диссертации рассматриваются некоторые случаи, когда имеет место сходимость распределений 3^ к распределению НЕ , и в этих случаях доказывается сходимость к Е$(г)
при довольно слабых ограничениях на функцию ^ . Кроме того, получены оценки скорости сходимости при некоторых дополнительных ограничениях.
Введем некоторые обозначения. Если X£ Я , то через |Х| мы будем обозначать норму вектора X . Через С с
индексами и без них будем обозначать, вообще говоря, различные в разных местах константы, зависящие только от указанных в скобках аргументов.
В главе 2 рассматривается случай, когда Sn представляет собой нормированную сумму независимых случайных векторов

X Хп , таких, что £|Хг|<°° при cW,
В этом случае при некоторых естественных дополнительных предположениях имеет место центральная предельная теорема, и наша задача сводится к оценке величины
где - распределение , a / - стандартное нормальное
распределение в Я* . В частном случае 'f(x) ~iX(E , где f>°, такие оценки были получены фон Баром [12] и Холлом [17-19] . В книге Бхаттачария и Ранга Рао ГЧ получен ряд оценок величины д<г (^) , справедливых для любой измеримой функции, правые части которых выражаются через модуль непрерывности функции ^ . Однако при этом предполагается, что функция ^ ограничена по модулю либо константой, либо величиной вида С 0+ 1Х1е) , где £ - натуральное число, такое,
что при всех С ( N , теорема 18.I). Послед-

нее условие ослаблено Суитингом в [25] , где предполагается лишь выполнение неравенства fi О XI). Здесь 4(и)
некоторая неубывающая на ('о^ос>) функция достаточно общего вида, такая, что ЕА(/УС1)< 00 . Вместе с тем в этой работе предполагается одинаковая распределенность случайных векторов X£ и конечность момента E/XrfS
В работе Гётце и Хиппа [16 ] , как и в книге [з] , выписываются асимптотические разложения для величины Кф- При этом предполагается, что f>f(x.)l£CCl+IXls) для некоторого
о ,
вещественного S ^ 3 , такого, что Е/Х/ < 0-0 при всех С . Одновременно здесь предполагается, что функция j. является достаточно гладкой, и оценивается лишь порядок остаточного члена.
Из результатов В.В. Сазонова ( [2Д] , глава 1,§ 2) следует оценка величины Ап({1 справедливая для одинаково распределенных векторов X. и ДЛЯ любой измеримой функции 1?(х) ,такой, что С(1+ IX!3). эта оценка имеет порядок но она
справедлива лишь в том случае, когда распределение р случайного вектора достаточно близко к нормальному, точнее, требуется малость абсолютного псевдомомента
V, = ы* Шг-<р)(х)1
Следует также упомянуть работу Хиткоута [го] , где получены асимптотическое разложение величины, аналогичной Ап(^), но для ненормированных сумм и достаточно быстро.убывающих функций ^ , и работу 127] , где получено некоторое обобщение к уточнение этого результата.
В главе 2 (теорема 2.1) получена оценка величины Ап(^) справедливая для функций, удовлетворяющих условию
С (1+А[т));
где ^1(11) - некоторая возрастающая на (о+са) функция достаточно общего вида, такая, что ПРИ всех
При этом на функцию ^(х) налагаются некоторые дополнительные ограничения, которые в одномерном случае сводятся к конечности величины ПрИ некотором (сколь угодно большом)
'•'-0О •/’ + I X
(У. . В отличие от оценок, полученных в [з] и [25] , правая часть оценки в теореме 2.1 всегда может быть представлена в виде , где величина Д^ не зависит от ^ . Более того,
в одномерном случае при {[(и1) — Ц* величина Д фактически совпадает с оценкой величины
имеющейся в книге В.В. Петрова [9] (
глава 5, теорема 8), а при •А(к) = и2+^ ’ где , оценивается так же, как
в теореме 6 той же главы.

СЬ,Л.)-2&) Г ЛЬ (3.53)
2^ - О
Доказательство леммы
функции следует, что
2£М<Аг
Доказательство леммы 3.4. Непосредственно из определения
± Щ) (3.5¥)
237 '
далее воспользуемся равенством
( <£(%&>=■{ РЛХ'.Р^Х, (3.55)
г и
где - плотность, определенная в условии леммы 3.1.
Из неравенств (3.4) следует, что ,при любом Х^'//2Л справедливы неравенства
. с,м , л л,. _ ем
(фЛУ-^+^Х*1 ^ ^ -Xм ■
Из (3.54), (3.55) и последних неравенств получаем утверждение леммы 3.4.
Перейдем теперь к доказательству леммы 3.2. Положим
х^ + хД
Х*с/Ях>,

У*к(р.) = §_Хкс1(р-6^)м
Тогда, согласно представлению (3.4?), равенства (3.49) можно записать в виде
=/Ск (ЯЗ. (з .56)
при К=СМ,... }Ла . Заметим также, что непосредственно из определения (3.12) функции Ш) следует оценка
(3.57)