Стохастическая оптимальность в задаче линейного регулятора, возмущенного последовательностью зависимых случайных величин

• Автор: Левочкина, Мария Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

ГЛАВА 1. Предварительные сведения из теории линейных систем управления и понятие оптимальности почти наверное и по вероятности

§ 1. Линейные дискретные системы управления: основные понятия

§ 2. Задача оптимального регулирования

§ 3. Оптимальность по вероятности и почти наверное в задачах

динамического управления

ГЛАВА 2. Задача линейного регулятора, возмущенного последовательностью зависимых случайных величин,

для случая постоянных параметров

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Основные результаты по стохастической оптимальности

§ 3. Вспомогательные утверждения

§ 4. Доказательства основных результатов

ГЛАВА 3. Задача линейного регулятора, возмущенного последовательностью зависимых случайных величин,
для случая переменных параметров
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Основные результаты по стохастической оптимальности
§ 3. Доказательства
ГЛАВА 4. Применение полученных результатов к задаче
пенсионного финансирования
§ 1. Оптимальное финансирование пенсий как задача динамического
управления
§ 2. Стохастическая оптимальность в задаче пенсионного
финансирования
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Описание области исследования. Диссертация посвящена исследованию стохастической оптимальности в задачах динамического управления, возникающих, в частности, в некоторых экономических приложениях.
Рассматривается линейная динамическая система управления с квадратичным целевым функционалом, возмущенная
последовательностью определенным образом зависимых случайных величин. Для исследования стохастической оптимальности используются так называемые вероятностные критерии, связанные с изучением асимптотического поведения (в некотором вероятностном смысле) интегрального целевого функционала, когда горизонт планирования стремится к бесконечности.
Известно, что традиционные подходы в теории стохастической динамической оптимизации основаны на исследовании математических ожиданий (м.о.) указанных целевых функционалов. Точнее, если задача рассматривается на фиксированном конечном интервале времени, то сравниваются м.о. функционала для разных управлений.
В случае, если система может рассматриваться на бесконечном интервале времени, сравнивается асимптотическое поведение м.о. функционала, когда горизонт планирования стремится к бесконечности. Управления, являющиеся решением соответствующих экстремальных задач, если они существуют, в дальнейшем называются управлениями, оптимальными в среднем (на конечном или бесконечном интервале времени). В частности, управлением оптимальным в среднем на бесконечном интервале времени обычно называется управление, минимизирующее верхний предел среднего по времени м.о. целевого функционала.
С помощью вероятностных критериев определяется более сильное в некотором смысле свойство оптимальности по сравнению с оптимальностью в среднем. Точнее, исследуются управления, доставляющие экстремум не только м.о. целевого функционала, но и самому функционалу (при некоторой нормировке, зависящей от длины интервала планирования) с вероятностью, асимптотически близкой к единице при больших интервалах.
Исследованию в указанной области посвящено большое количество работ, в которых рассматриваются некоторые частные модели, такие как

линейная система с квадратичным функционалом (линейный регулятор - см. [42],[34],[38], [14], [37] для случая дискретного времени, [48],[1], [32], [17] для случая непрерывного времени) или А11МАХ-модель ([30]), так и управляемые процессы достаточно общего вида ([18],[21], [23],[11],[12],[40], [31]).
2. Постановка задачи исследования стохастической
оптимальности для управляемой марковской цепи. Пусть управляемая марковская цепь х£ = 0,1,2 со значениями в Б/ описывается рекуррентным соотношением
хь = Л*(6,а?*_1,а*), (1)
где &, £2, • • • - независимые случайные величины (с.в.), - элемент
пространства Б/” и /гг : Б, х Б/ х Бт -> Б/, £ = 1,2 - некоторые измеримые функции. Будем интерпретировать щ как решение,
принимаемое в момент £.
Ниже для любой последовательности элементов ац, ог2, — положим аь — (ац а().
Пусть хо = х - начальное состояние цепи, которое в дальнейшем будем считать фиксированным. Для любого целого Т > 1 рассмотрим функционал
МаТ) = £?*(**>а«). (2)

где Xt удовлетворяет (1) при хо — х, а измеримая функция определяет цену управления в момент времени £.
В качестве класса Ы допустимых управлений будем рассматривать класс всевозможных неупреждающих управлений, т.е. случайных процессов «1,^2, •••, где щ - с.в., измеримая относительно сг-алгебры
Ъ- = <г{£ь £2, -,£<-1}-
Для Т > 1 будем обозначать {0,Т} интервал времени
{£: £ = 0,1, ...,Г}. Управление йт называется оптимальным в среднем на интервале {0, Т}, если
Е{/Г(ЙТ)} = ш/ЕУИ«1)},

где 1п£ берется по множеству Ыт, множеству всех сужений ит управлений {м1,гг2,...} из Ы. Ясно,что йт, если оно существует, может зависеть от Т, так что, рассматривая последовательность {и7}, мы имеем дело со схемой серий {щт, ...,йтт}-

(как нетрудно убедиться, такое в всегда существует). Следовательно, Р(9тАт > е) < Р ((евМт(Т)-сов{Мут(,Т) > ев£д^ <
< р {евМт(Т)-ф„(в)(МУт(Т) > евед-''
По лемме 2.4 последовательность
йт(в) = е»м^т)-Л«(М);(Ч
является неотрицательным супермартингалом, следовательно,
Е Zt,т(в) <
для £ = 1, ...,Т. Из неравенства Чебышева следует, что:
р / »м;(т)-*Рт <м);(т) > е„!9;Л < (46)
и из (46) следует утверждение 1) теоремы 1.
Докажем теперь утверждение 2). Пусть

Введя обозначение
~ 9т^Т (47)
ясно, что
0Т = О{ 1). (48)
Тогда из (46),(48) получим
Р{9тАт>е)<~^,
и из сходимости для любых е > 0 ряда £ (г) и леммы Борелят=1 т т
Кантелли следует утверждение 2) теоремы 1.
Доказательство теоремы 2.2 Рассмотрим следующие индикаторы:
Д = / {|(х, - г,)'(Л$с, + л<|)е,1/2| < »},