Проверка непараметрических гипотез в некоторых задачах теории надежности

• Автор: Тимонин, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 c. : ил

'ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Точные распределения статистик некоторых ранговых
критериев
§ X. Постановка задачи и распределение некоторых случайных величин
§ 2. Точные распределения статистик ранговых критериев типа Колмогорова-Смирнова
§ 3. Локально наиболее мощный критерий для одного
класса альтернатив
§ 4. Мощность некоторых ранговых критериев
Глава 2. Оценки для предельного распределения статистики
двухвыборочного критерия Смирнова
§ I. Слабая сходимость одного эмпирического процесса. 37 § 2. Некоторые оценки для асимптотического распределения статистики двухвыборочного критерия Смирнова
Глава 3. Точные распределения статистик ранговых критериев
в задачах испытаний с переменной нагрузкой
§ I. Распределение рангов в испытаниях с переменной
нагрузкой
§ 2. Точные распределения статистики критерия типа
Колмогорова- Смирнова
§ 3. Точные распределения статистики одного локально
наиболее мощного рангового критерия
.Заключение
Литература
Приложение

При решении многих задач теории надежности применяются методы непараметрической статистики /1,2/. К ним, в частности, относятся классическая задача о двух выборках, не параметрическое оценивание линии регрессии, проверка независимости случайных величин и другие. Задача о двух выборках, состоящая в проверке принадлежности выборок к одной генеральной совокупности, подробно освещалась в ряде монографий, среди которых наиболее известными являются /3,4/. В последнее время, в связи с развитием ряда направлений в теории надежности /5/, появилась необходимость в проверке гипотез о том, что функции распределения совокупностей, откуда извлечены выборки, связаны определенной функциональной зависимостью. Рассмотрению некоторых из таких задач и посвящена данная диссертация.
В первой главе приведены методы, позволяющие вычислять точные распределения статистик некоторых критериев, предназначенных для проверки следующей гипотезы.
Пусть Х^) и (~ дае независимые
выборки, Причем Хс-'^'сГ(%)1 -у. $(Ъс), &(х)~ непрерывны.
Необходимо проверить гипотезу
Я, •' Т(х) ”
где К 1 - произвольное фиксированное число.
Потребность в проверке таких гипотез возникает в том случае если, например, при проверке равенства функций распределения двух совокупностей из одной совокупности можно получить выборку лишь из величин % - тсьх (?,} ^ , где -независимые наблюдения над данной совокупностью. В этом случае К
Пусть -ЬС^) • •• 2 ~ объединенный вариационный ряд полученных выборок. Обозначим

~^/J
t - / tit+ti
o, 1C} Karty, t=i,b,
'i ~ %/) E=
ъ=£_>%•> гГ
В первом параграфе определены распределения ^ С-^Уи+П, и £= (&1, '•■>&»]+*) • В терминах %с’ и будут записываться статистики ранговых критериев.
Во втором параграфе для проверки И, введены критерии типа критериев Колмогорова-Смирнова. Для нахождения точных распределений их статистик введена следующая модель случайного блуждания. Частица движется по двумерному массиву ячеек =
С^Л » выходя на первом шаге из &0о и передвигаясь на /-ом шаге из СЬ„ I . й в А, . „ , заканчивая блуждание
Ь-1 > Ъ) С~Кв й-«.* •
Основной теоремой в первом параграфе является Теорема 1.1, позволяющая вычислять вероятности невыхода траектории блуждания из произвольного г С лГ.
ТЕОРЕМА 1.1. Вероятность невыхода траектории случайного блуждания из Т при условии f-f определяется выражением
К*1
Р(т)=
где величину ЧЛ' МОЖНО получить повторным применением COOT' ношения
сальными и граничными условиями ~ ^оо j <Е)гс ~ о ~ О >

■1МмП . тЛгр£к-
(^кл^у-
. ,-ко -2& ~2&
-_А± +£± -_лклг_)
2ААЙМ ±-*“))
(1+рИ0± ^°)г Так как при 4. выражение
-1-Ко -ко / -Ыо ,-Ро
/ 1 ~~ 7~£о , *~*о / "ело ~^-о \
(± - ■£ ■+/{£ - I ))>о,
то утверждение доказано.
Вид функции ^(х) показан на рис, 2,
Рассмотрим возможные оценки для оС и <£+ . Непосредственно из свойства I) Утверждения 2,2 следует, что
^ У“1'"),
р( лм ‘1'°")
В [20] показано, что при ^(т) = С, М>0, С^О,

Р(Ш„^>^2 и";**
(ММ - Жо!
Тогда

1Г) = ±
-Пг/0+Щ) , -г
1-е ы ^ -1-е ,