Точность аппроксимации многомерными устойчивыми законами

• Автор: Михайлова, Ирина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 c. : ил

ГЛАВА I. Определения и свойства многомерных устойчивых законов

ГЛАВА II. Оценки дяя расстояния по вариации скорости сходимости к многомерному устойчивому закону

ГЛАВА III. Оценки интегрального типа в терминах

псевдомоментов

Глава IV. Равномерная аппроксимация сферически

симметричными устойчивыми законами

ЛИТ ЕР А Т У Р А

ВВЕЩИЕ
Познавательная ценность теории вероятностей раскрывается в предельных теоремах. Естественно поэтому, что исследование оценок скорости сходимости в предельных теоремах, особенно в центральной предельной теореме, является одной из наиболее важных и интенсивно разрабатываемых задач теории вероятностей. Решением этой задачи в конечномерном и бесконечномерном случаях занимались А.А.Ляпунов, А.Н.Колмогоров, Х.Бергстрем, А.Берри, К.Эсоен, Б.В.Гнеденко, Ю.В.Црохоров, В.В.Сазонов, В.В.Петров, И.А.Ибраги-мов, JB.Nl.Золотарев, В.й.Паулаускас, С.В.Нагаев, Л.В.Осипов, В.И.Ротарь, В.В.Юринский, Б.фон Бар, Р.Н.Ехаттачария, Т.Суитинг, Р.Ранга Рао и другие авторы. Подробная библиография, включающая и совсем недавние работы, может быть найдена в книгах Р.Н.Бхат-тачарии, Р.Ранга Рао [П^ и В.В.Сазонова [ 7б]|.
Наряду с гауссовским в предельных теоремах в качестве предельного закона нередко возникают различные другие устойчивые законы. Точность аппроксимации одномерными устойчивыми законами в настоящее время уже хорошо изучена. Первые оценки в случае одномерного устойчивого предельного закона появились как естественное обобщение соответствующих оценок в центральной предельной теореме, так как при доказательстве оценок использовались такие свойства гауссовского распределения, которыми обладают и другие одномерные устойчивые законы. В работах В.М.Золотарева, В.И.Паула-ускаса, А.А.Миталаускаса, И.И.Баниса, С.П.Стейшунаса, К.И.Саты-балдиной, В.В.Ульянова, В.П.Сакалаускаса, А.Ю.Рачкаускаса;5- 8a.SU, и других авторов построены различные типы оценок скорости сходимости к предельному одномерному устойчивому закону: для функций распределения, для плотностей, для расстояния по ва-

риации, в метрике /эр, р*± , неравномерные оценки и
другие. Сделаем краткий обзор некоторых известных результатов. Пусть ха,,.. - независимые, одинаково распределенные случайные величины (с.в.) с распределением Р и функцией распределения -Г(оО, ЕХ^О , если ЕХ1 существует .^Ргь - распределение и /£.(сс)- функция распределения с.в. Через Су,(х)

будем обозначать функцию распределения одномерного устойчивого закона с характеристической функцией вида
з?де |р>|^1, 0 4оС^а.; оС41. Пусть ^Х(1[&(х)-&4я)),
4=зир №(ос)-&1(ос)| 1 °'1'

дн &гб*а%
где - вариация обобщенной меры
Определим псевдомомент (вариация с весом) и урезанный псевдомомент порядка (1>0 следующим образом:
уз (<<*);
—»оо
г= ЗнЧр-Ы и<и1 Р-Н №> ■,
^ 1сс1<ц1^ х*нк
разностные мрменты порядка <^>1 следующим образом:
* — оо
Одной из первых работ, где рассматривались оценки скорости сходимости к одномерному устойчивому закону, является работа В.М.Золотарева [ 14^ , где доказано, что если ^1= 0 для 1-0,, то при )!-?•«> и СКс1<а, ,&:$±,'1=ь+Ы2 имеет место оценка
Р- А/ 1-*%

имеет х.ф. вида 4п Ж-ЬУ) = £ССр } -Щ"1
Тогда
?=(Ць+ЗЩг, Ра &
1ы ч кУ= Е еЧ кк+^=|? (к+ ьл&, 4ф+-ц).
Плотность распределения с.в
Ме «№

НаОСа)

У ("Ьт4 ЬдД; -^р* +^)о14г ~
где ^1 - якобиан преобразования ^1“ Ь1+-Ьд_Рг
ид.вЦР± +^2.
- якобиан преобразования 9С^-2±+^±^
Ок^+Рг*!
|Ъ|*>,
|&| =#0