Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях

• Автор: Беляев, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 c. : ил

ОГЛАШЕНИЕ

Список основных обозначении и сокращений

Глава I. Марковские цепи и гиббсовские поля со

взаимодействием соседей на деревьях

§1.Случайные поля на деревьях

§2.Марковские цепи в классе гиббсовских полей

§3.Крайние гиббсовские поля

§4.Единственность в классе гиббсовских полей

§5.Гиббсовские поля со значениями в компактных

группах

§6.Ферромагнитная модель Изинга на деревьях

Глава 2. Предельные теоремы для надкритических
марковских процессов с ветвлением
§7.Марковские процессы с ветвлением
§8.Сходимость функционалов в среднем квадратичном
и по распределению
§9.Смешанная гауссовость для функционалов
§10.Смешанная гауссовость для функционалов
(продолжение)
§11.Высокотемпературная гауссовость суммарного
спина от гиббсовских полей
§12.Поведение суммарного спина модели Изинга
Литература

В последнее время при изучении спиновых систем на решетках в теории фазовых переходов математической статистической физики и прилегающих к ней областях теории вероятностей, в первую очередь в теории марковских случайных полей, проявляется интерес к решеткам, имеющим иную топологическую структуру чем классические решетки Ж. (Григорчук [7] , Темпельман [24] , Лунд и др. [1б] ). Теоретический аспект этих исследований состоит в перенесении ряда строгих результатов математической статистической физики, в стиле, например, работ Рюэля £21] , Синая[23] , Добру-шина [9, 1<0 , на случай систем с группой симметрий произвольного вида. Указанные исследования имеют и некоторый прикладной интерес, например, в теории полимеров, где в ряде случаев полимерные цепочки (Кучанов [15] ) представляют графы со сложной топологической структурой. Особое место в этой области заняли однородные деревья, из всех вершин которых выходит равное конечное число ребер; в физической лиетратуре такие графы называют деревьями Кэли или деревьями Бете, в математической литературе - это частный случай деревьев Брюа-Титса. С точки зрения моделей статистической физики на группах (Григорчук [70 ) однородные деревья с четным числом ребер, выходящих из всех вершин, являются графами свободной группы с соответствующим числом образующих.
Для гиббсовских полей со взаимодействием соседей на однородных деревьях для двухточечного спинового пространства , то есть фактически в модели Изинга, была практически до конца решена задача единственности гиббсовского поля (Домб [зб] , Спитцер [44] , Престон {41} ) и вычислена предельная удельная свободная энергия ( Мюллер-Хартман и др. £*39, 4о] ). Марковская структура переходных вероятностей модели Изинга на деревьях

(Спитцер [44*] ) позволила свести указанные задачи к изучению марковских цепей на деревьях; эти цепи определяются аналогично марковским цепям на решетке целых чисел, являющейся примером "вырожденного" однородного дерева. Уже после работ автора по теме диссертации [2,3*] вышла статья 1(ХсЯол<£ аъ о марковских случайных полях на деревьях, нобязательно однородных, со счетным чистом возможных значений спиновой переменной; в этой статье обобщены результаты Спитцера [44] и Престона [4І] для однородных деревьях в направлении исследований для марковских случайных полей на решетке целых чисел, содержащихся в работах Кэлли [Зб] , Кестена [37] , Спитцера [43^]
Марковские цепи на деревьях являются обобщением обычных марковских цепей с дискретным временем. Возможность соединить две вершины на дереве единственным несамопересекающимся путем по ребрам позволяет определять распределения цепей в виде отдельных переходов от спина к спину, находящемуся на одном ребре; для графов с циклами такая конструкция непосредственно неосуществима. Марковские цепи на деревьях являются с одной стороны марковскими случайными полями (ЯасКаЪу £45] ), с другой стороны - это специфический класс гиббсовских полей со взаимодействием соседей. В отличие от работ Спитцера [44] , Престона [41] и ЗоигЯагу £45] в диссертации марковские цепи на
деревьях рассматриваются в плане их принадлежности к классу гиббсовских полей с заданными гамильтонианом и базовой мерой.
В диссертации рассматриваются две задачи для таких марковских цепей: задача восстановления цепи по ее условным распределениям и задача исследования асимптотического поведения функционалов типов суммарного спина от этих процессов. Несмотря на постановку задач?в стиле статистической физики у них имеются точные аналоги в теории марковских процессов: для первой задачи - это построе-

В силу выпуклости , 1Р* £.( ^ 5 ^г) ©Iе © ,
и, тем самым, для множества ^ выполнены свойства, описанные в лемме 3.3, так как
Согласно построению (3.15-3.1В) для множества У=-Т^031/7 , где ТГ£ '"У5 , мы имеем, что
&£ ЭУЛЭ& и поэтому, согласно лемме 3.3 и определению (3.16) имеем £*2);, йеТА/", В&1/(Гид14ГГ)Эсс
Построим теперь последовательность множеств Ук ) к= по правилу VI- , & -фиксированная вершина, "^+/=
- и 91^. . Все объемы € 'У' и ^ . Так как(^^|
при больших К принадлежат одному и тому же ъг -компакту 0 , диагональным процессом можно построить такую последовательность индексов Й.ОО з К» , , что функции -го* -
сходятся к некоторым пределам для всех
£ Л* . Предельные функции лежат в © и
удовлетворяют в силу 2сГ-непрерывности Р системе уравнений, полученных предельным переходом из (3.16):
Ф-ГаД= ¥ (Д<вйс ^ е А*> (ЗЛ8)
что означает принадлежность , 1а,в{еА*) е Ф
Аналогично соотношению (2.9) допредельные плотности распределения относительно %(СРсу) для больших
К , при которых ГС Л/~1£ , имели вид
^^^у)ехР{-Н(ху1^еЭу^Ь (ЗЛ9)
где (ТГ) -множитель, выбиравшийся из условия нормировки
плотности. Переходя к пределу при К-ъоо в соотношении (3.19)