Предельные теоремы для гауссовских случайных процессов и их применение в финансовой теории

• Автор: Иванов, Роман Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

1. О сходимости дискретизации по времени для гауссовских процессов со стационарными приращениями
§1.1 Введение и основные результаты
§1.2 Доказательства
§1.3 Доказательства вспомогательных утверждений
2. Об аппроксимации экстремумов фрактального броуновского движения и функционалов типа цен
§2.1 Введение
§2.2 Основные результаты и доказательства
§2.3 Доказательства вспомогательных результатов
§2.4 О численных расчетах в модели фрактального финансового рынка
3. Об аппроксимации цен опционов Американского типа
§3.1 Введение
§3.2 Основные результаты
§3.3 Доказательства
Литература

Асимптотическая теория случайных процессов является одной из главных областей исследования в теории вероятностей и математической статистике как в нынешнем веке, так и в прошедших столетиях. Классические результаты относительно предельных распределений различного рода последовательностей случайных величин ( такие, как, например, теорема Муавра-Лапласа, закон больших чисел, теорема Пуассона ) можно найти п любом учебнике по теории вероятностей. Канонические предельные теоремы теории случайных процессов ( Донскера, Прохорова ) обсуждаются, например, в книгах [4], [16]. Классической монографией, включающей в себя многочисленные результаты на указанную тему в контексте семимартингалов и стохастического интеграла Ито является [29]. Остановимся на новейших результатах по этой тематике, во многом стимулировавших написание данной диссертации.
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение ( СДЕ ) следующего типа:
dXt = a{Xt)dWt + b{Xt)dt, t> О, X0 = x0, (1)
где a(-) и b(-) есть некоторые функции, a Wt есть стандартный винеровский процесс. В работах [68], [42] рассматривается возможность численного решения уравнения (1) по схеме Эйлера, то есть изучаются вопросы сходимости решения уравнения
dX? = a{Xl)dWt + b(X?Jdt, (2)
где t е [О, Г], tn = [,nt]/n при [int] € N и tn = t - T/n при [nt] £ N.

Хорошо известно, что при а = 0 скорость сходимости решения (2) к решению уравнения (1) есть 1/п в случае наличия этой сходимости. В случае, когда коэффициент а(-) не исчезает, скорость сходимости есть 1/Vn, и в вышеописанных работах при допустимых функциях а(-) и &(•) были получены точные предельные процессы для соответствующим образом нормализованной асимптотической ошибки
54"= supM, (3)
s
X? = Xt-X?.
В случае, когда вместо (1) рассматривается более общее уравнение
dXt = f(Xt~)dZt, t > 0, Хо = то, (4)
где Zt есть некоторый, не обязательно непрерывный, семимартингал, класс допустимых функций /(■), скорости сходимости, а также точные предельные процессы устанавливаются в работах [28], [27]. В предположении непрерывной дифференцируемости функции /(•) в (4) для случая непрерывных семимартингалов Zt в работе [28] обсуждается равномерная сходимость нормализованного процесса ошибки X", то есть распределение функционала y/nS", в случае, когда Zt есть процесс ограниченной вариации, и слабая сходимость процесса у/пХ" для процесса Zt, являющегося локальным мартингалом, или, в некоторых случаях, просто семимартингалом. Однако, в случае, когда Zt не является непрерывным, процесс у/пХ" может вообще не сходится к 0 в обычном смысле ( топологии Скорохода ). Поэтому, для разрывных

Так же, как и в предыдущей теореме, мы доказываем только случай максимума. Случай минимума рассматривается аналогично.
В силу условий на /, имеем = f'(M)(M-Mm) для некоторого М между М и Мт, и используя неравенство Коши-Буняковского ( см., например, [71], гл. 2, § 6 ), можем записать, что
Ef(M) - f{Mm)| < JEf'(M)2/E[M - Mm2. (54)
По условию, нам необходимо оценить Е[М—Мт]2. Для любого 6 > О мы имеем
Е[М - Мт}2 =Е[{М-Мт)2,М-Мт<5]
+Е[{М - Мт)2, М - Мт> 8) <82

+ E[{M[kh,(k+i)h] ~ Вн{кЬ))2,М[кн,(шщ - Вн(кЬ) > 5]

=ö‘1 + YJEk.
к=О
Положим 8 = ChH log^ 4 с константой С из леммы 2.3. В силу леммы 2
Е[М - М„]! < С^, откуда следует утверждение теоремы. □
§2.3 Доказательства вспомогательных результатов.
Лемма 2.1 Положим Рк = Рк(8) = Р (logfS^/So] < и-> M[kh,(k+i)h] > и 4- <5), где и > 0 фиксировано, к = 0,1, ...,m — 1 и 8(h) > 0. Тогда существует константа Сн, такая что для 8 = С uh11 (log^)1^2 и некоторой