Вероятностные неравенства и предельные теоремы для обобщенных L-статистик

• Автор: Бакланов, Евгений Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 55 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Вероятностные неравенства

§1. Неравенства для статистик, построенных по выборке из показательного распределения
§2. Неравенства для статистик, построенных по выборке из равномерного распределения

§3. Неравенства для Г-статистик с расщепляющимися ядрами

Глава 2. Нормальная аппроксимация

§1. Предельная теорема для статистик Ап

§2. Асимптотическая нормальность

§3. Вероятности больших уклонений

Литература

ВВЕДЕНИЕ
Пусть Xi,X2,... - независимые одинаково распределенные случайные величины. Обозначим через Хп. < ... < Хп:п - порядковые статистики, построенные по выборке {Xi; г < п}. Рассмотрим линейную комбинацию порядковых статистик

называемую (классической) L-статистикой, //-статистики находят широкое применение, в частности, в теории оценивания. Они используются, например, при оценке параметров сдвига и масштаба (см. [18, 24]). Для некоторых параметрических семейств коэффициенты сПг могут быть подобраны так, чтобы X-статистик и были в известном смысле эквивалентны оценкам максимального правдоподобия (их дисперсии асимптотически эквивалентны), которые, как правило, являются оптимальными (см. [28]).
Наряду с классическими X-статистиками используются линейные комбинации функций от порядковых статистик, также называемые Х-статистиками:
4S-Î>№),

где h - некоторая измеримая функция, иногда называемая ядром. Если h ■•••• монотонная функция, то соответствующая статистика Х»2^ , очевидно, представима в виде статистики Ьп построенной по выборке {h(Xi);i < п}.
В большинстве работ, посвященных асимптотическому анализу Х-статистик, чаще всего рассматривался случай так называемых регулярных коэффициентов сп(, когда

cni = n~lJ(i/(n + )) или cni — / J(t)dt,
J(i-l)/n

где J - некоторая достаточно гладкая функция (см., например, [1, 2, 16, 25, 26, 32]), или асимптотически регулярных коэффициентов, когда cni вычисляются по вышеприведенным формулам с точностью до о(1/п) равномерно по всем г (см. [1, 2, 16, 32]).
Все работы, связанные с асимптотическим анализом линейных комбинаций порядковых статистик можно условно разбить на три группы. Первая группа работ посвящена анализу статистик вида Ln построенных по выборке из показательного распределения. Это связано, во-первых, с тем, что с помощью квантильных преобразований любое распределение можно свести к любому непрерывному, например к показательному или равномерному, т. е. мы можем определить выборку Yii < гг} с произвольной функцией распределения G по формуле Уг = G~l{F{Xi)), где F - непрерывная функция распределения Х} G~l{z) — inf{£ : G(t) > z} - квантильное преобразование функции распределения Y. Так как суперпозиция функций (?-1 и F монотонна, то G~1(F(Xn;i)) < ... < G"1(F(X„:n)) - порядковые статистики, построенные по выборке {Yii < п}. Следовательно,
*=1 1 где h(x) = /i(G_1F((rc))).
Во-вторых, это обусловлено удобной для анализа структурой порядковых статистик для выборок из показательного распределения, которые представляют собой процесс частных сумм, построенный по независимым экспоненциально распределенным случайным величинам (подробнее об этом см. § 1.1.). Это представление, в частности, во многом упрощает доказательство предельных теорем для соответствующих линейных комбинаций порядковых статистик (см., например, [17, 20, 21]). Отметим, что указанная структура порядковых статистик позволяет также отказаться от монотонности ядра h и регулярности коэффициентов Cni.
Вторая группа работ связана со свойствами порядковых статистик, постро-
ТО ДЛЯ всех и > Uq
рда, + ■ ■ ■ + щ > и} < ехР{-^ (^) ”} + е‘+2|^- (1-54)
Там же отмечено, что если первое из условий (1.53) выполнено, а второе - нет, то для = (36 Y, будут выполнены оба условия (1.53). Теперь из

(1.52) и (1.54) получаем (1.46).
Пусть теперь ak < кВ2Нк~2/2, к = 2,3,... Тогда
X)E||{(|j* = па* < k(nB2)Hb~2/2 1=
и из (1.18) следует (1.47).
Пусть jXi| < b п. н. Тогда
И! = Г F(t)dh(t)+ fl ~Fmdh(t)
J-b JXi
< J s Ho.
Теперь из неравенства (1.2) в [11] получаем (1.48). Теорема 1.7 доказана. Доказательство теоремы 1.8. Из (1.42) и (1.52) имеем
Е[1„ + 7»|‘ < c*E||S„||*
< {(E||S„||)* + е| ||S„|| - E||Sn|| I

2*^4 (E||S„!|)‘ + 2k-^n(C0kf <{ E||^r + ( ]T E||d
< 2k~'4 (нкпк'2 + (Cakf(nak + n^aÿ2))
где Со и С - абсолютные положительные постоянные. Теорема 1.8 доказана.