Предельные теоремы для статистик, связанных с большим числом редких событий

• Автор: Мнацаканов, Роберт Мушегович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 113 c. : ил

ГЛАВА I. ОПИСАНИЕ НЕСОСТОЯТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ
ВЕРОЯТНОСТИ
§ I. Состоятельные оценки плотности вероятности
§ 2. Несостоятельные оценки плотности вероятности
Глава II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РАЗДЕЛИМЫХ СТАТИСТИК В СЛУЧАЕ ОЧЕНЬ РЕДКИХ СОБЫТИЙ
§ I. Предельная теорема для линейных разделимых
статистик
§ 2. Теорема о сходимости разделимых статистик к
гауссовскому процессу
§ 3. Мартингальные предельные теоремы для разделимых статистик
§ 4. Сходимость по распределению при альтернативах
ЛИТЕРАТУРА

Во многих задачах математической статистики важную роль играют разделимые статистики (см., например, [1^ ):
о СО. ) Сг)
где ^(эс)} N - 1,2,... - последовательность измеримых функций, определенных для значений х ъ О , а ^ , . . . ,
-О - случайные величины (сл.в.), имеющие мультиномиальное
N уь
распределение с вероятностями , р и числом испытаний п. . В случае, когда функция имеет вид

3|Ал)=(Лп- / ^Рг«. •
^Ап) = /^Р^)
( Т{* } - индикаторная функция), статистика (I) представляет

собой -статистику, статистику максимального правдоподобия и так называемую статистику спектра, соответственно.
В диссертации рассматривается более общий объект- процесс, значения которого представляют собой нормированные частичные суммы вида (I). Более точно: пусть , . ..,Х^ независимые одинаково распределенные сл.в. с функцией распределения Сф.р.) Р - согласно гипотезе й с ф.р. - согласно альтернативе.
Без ограничения общности рассматриваемой нике задачи можно предполагать, что ф.р. Р1 и заданы на интервале [ОД-] . Обозначим через и , соответственно, плотности вероятности (пп.в.) сл.в. . Введем биномиальный процесс
н (•о = ХХ X X- £
И. . . I- т
14 К.
Разделим интервал [0,1*] на N подинтервалов (Х/М,(г-+1)/М] , 1=0^1, .. ., Ы-1 . В этом случае
^л.Сч) = ~2Дй) •
а р=дР(1/М) или рс в зависимости от того рассматривается гипотеза или альтернатива. Рассмотрим процессы вида
х^)=^ Е
где е^^=п.уи^ 1-^оо5а=о(МХ1а,Н->оо а Ы = 1,
- последовательность измеримых функций, определенных для значений ос. > О и ± ГОД1 , причём Ъ - наименьшее целое положительное число такое, что при всех N и -Ь выполняются следующие соотношения:
■$цсо,-о=... = зыо-м)=о и аысгД) ^ ° •
Заметим здесь, что, во-первых, рассматривать процессы Х*4 в вышеприведённой конструкции, т.е. связывать значения процесса Xм с приращениями биномиального процесса Е^ удобно с точки зрения применения мартингального подхода при нахождении предельных теорем для • Во-вторых, поскольку каждому набору вероятностей , . . . , р^ мы всегда можем поставить в соответствие пл.в. ^ по следующему правилу:

и наоборот, для заданной пл.в. 5" можно положить
с 1. / N
р1 = = 15С..,М,
с1+1>/М
то, приведенная выше конструкция нисколько не умаляет общности рассматриваемой задачи.
Существует большое количество работ, посвященных нахождению

нетрудно обнаружить, что левая часть неравенства (1.6) равна
. А.
д £ Е(Р 37) * Е3*£5
- ^ Ьф і

(1.6)
Заметим теперь, что имеют место следующие равенства
Е%г ГЪЯРи) - Т ,

£ ?2 = ( - [ ^(фЛРи)]2 ,
I *
Е(%гА)г I Х^^оо]1 х

х{чЧ*)-ФС£) -[ £(*)<№(.>] ] +
% о
+£ ^С5)с|Рсз>]г-[ф(^)-ФС^) -Ц ]“

-[ ^-^Сь)с![ £-ес^Р’со']2

Поскольку при любых £ , 5 £ 0, і~]
ї ^(5)і№)]г $ ФОО - 440 , г^<5 ,
А **
то, применяя вышеприведенные равенства, находим верхнюю оценку для величины (1.8):
ю. (іо,—1)
Д [фад -ФС£)] [ф«2) - ФЮ] + [ф&О -Ф(^)][сР(г!Д-Ф(ггл)1< З^ФС^-ФСА)