Предельные теоремы для многоэтапных схем размещения частиц по ячейкам

• Автор: Шибанов, Олег Константинович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
Многоэтапные схемы размещения частиц по ячейкам
Обзор результатов по главам
Глава
Пуассоновская предельная теорема для двухэтапной схемы размещения
1.1. Равновероятная двухэтапная схема размещения
1.2. Полиномиальная двухэтапная схема размещения
Глава
Центральная предельная теорема для двухэтапной схемы размещения
2.1. Уточнение статьи В.Г. Михайлова
2.1.1. Введение
2.1.2. Свойства величин Едг и Од,
2.1.3. Оценки третьего и четвертого моментов
2.1.4. Центральная часть доказательства
2.1.5. Вычислительная часть доказательства
2.2. Центральная предельная теорема для двухэтапной схемы
размещения
2.2.1. Введение
2.2.2. Доказательства
Глава
Бесконечная схема размещения частиц
3.1. Невырожденность предельного распределения в бесконечной схеме размещения частиц
3.2. Предельное распределение момента объединения всех частиц
3.2.1. Введение
3.2.2. Доказательства

Введение
, Диссертация посвящена исследованию многоэтапной схемы размещения частиц по ячейкам. Эта схема является новой и обобщает классическую схему размещения частиц по ячейкам. В диссертации мы рассматриваем два крайних случал - двухэтапную схему и схему с бесконечным числом этапов. Мы начнем введение с описания предмета исследования. Далее будут описаны полученные в работе результаты, и проведено их сравнение с аналогичными результатами для классической схемы размещения частиц по ячейкам, а также с современными результатами для схожих задач.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка используемой литературы. Формулы, леммы и теоремы будут иметь номер, состоящий из двух чисел. Первое соответствует номеру главы, а второе - номеру формулы (леммы, теоремы) в данной главе. Теоремы из введения, доказанные в работах других авторов, будут нумероваться одним числом. Ссылки на работы других авторов нумеруются по алфавиту, согласно фамилии первого из них. Статьи, в которых излагаются результаты, полученные автором, выделены в отдельный список.
Многоэтапные схемы размещения частиц по ячейкам
В данной работе мы рассматриваем следующую модификацию известной одноэтапиой схемы размещения частиц по ячейкам (см., например, [3]).
Будем считать, что в Дм слое содержится ячеек. На первом этапе N0 исходных частиц независимо размещаются по /Д ячейкам первого слоя в соответствии с распределением = (рр£ На втором
этапе А’] ячеек первого слоя рассматриваются как частицы, и они независимо размещаются по N2 ячейкам второго слоя вместе с содержащимися в них исходными частицами в соответствии с распределением р21
(рр чРл'з)- Размещения продолжаются аналогично т раз, то есть на последнем этапе ячейки (ш — 1)-го слоя размещаются по ячейкам т-го слоя. Такую схему размещения естественно называть т-этапной. Будем через //)т(Лго, М

распределение /4" при разных условиях на параметры схемы. В данной работе мы будем рассматривать двухэтапную схему, то есть схему с двумя слоями ячеек, и схему с бесконечным числом слоев.
В случае, когда распределения на всех этапах размещения являются равновероятными, мы будем говорить о равновероятной схеме размещения, в противном случае - о полиномиальной схеме размещения.
Для первой и второй частей диссертации мы приведем и обсудим предельные теоремы из [3], которые имеют отношение к нашей работе. Для третьей части диссертации мы укажем, какие результаты являются новыми, а какие воспроизводят известные результаты в схеме размещения с бесконечным числом этапов.
Обзор результатов по главам.
Первая глава состоит из двух параграфов. В первом из них исследуется равновероятная, во втором - полиномиальная схема двухэтапного размещения , частиц. Полиномиальная схема является более общей; для равновероятной схемы сходимость к распределению Пуассона доказана в условиях, которые не следуют из аналогичной теоремы для полиномиальной схемы. В связи с этим результаты, относящиеся к равновероятному распределению, выделены в отдельный параграф. Отметим, что доказательства в этой главе получены при помощи метода моментов.
В случае равновероятной схемы векторы вероятностей на обоих этапах состоят из одинаковых чисел: р(1) = р(2)
Мы устанавливаем следующий результат:
Теорема 1.1. Если в равновероятной двухэтапной схеме размещения частиц г > 1 фиксировано, Nq, N, N2 —> со так, что No = о(А), No — 0(N),

Е2) -> А € (0, сю), то
= fc = 0,l,
Сравним этот результат с классической схемой размещения частиц, в которой количество слоев равно т = 1, то есть исходные No — п частиц размещаются по N = N ячейкам, а дальнейшие размещения не производятся.

p(ßr) — SUP |P(o" l{ßr — EPr) < x) — Ф(ж) I,

где Ф(з;) - функция стандартного нормального распределения.
Теорема 2.1. Пусть г > 1, а параметры схемы изменяются так, что п —* оо. D —> 0. Тогда
р(рг) < A(r)D, A{r) = const. (2.2)
Замечание 2.2. Для выполнения условия D — 0 необходимо, чтобы Е/зт -о-оо (см. раздел 2.1.2, равенство (2.5)).
Остановимся на одном важном частном случае.
Определение. Будем говорить, что схема независимого размещения частиц с параметрами, n,pi,i € I, принадлежит центральной области изменения параметров, если Vr > 1, Зпо = щ(г) такое, что для любых п > п0,
Mr) Ш, (2.3)
где 0 < ао(г) < Ьо(г) < оо - функции от г.
(В дальнейшем выражение f(n) х п означает, что найдутся такие константы по, а, Ь, 0 < а < Ь < оо, что а < < b при всех п > щ).
Замечание 2.3. Условие (2.3) выполняется для конечной полиномиальной схемы (когда Pi = 0 при г > N), параметры которой удовлетворяют следующему традиционному определению центральной области (см. [3], с. 111): существуют такие положительные константы С, ао, ац, что

Npi <С,г = 1
Замечание 2.4. Можно показать, что для выполнения (2.3) необходимо и достаточно, чтобы
п —> оо, Зг > 2 : lim inf —— > 0. (2.5)

Теорема 2.5 Пусть схема независимого размещения частиц принадлежит, центральной области и Р?.—* 0. Тогда при любом г >
р(рг) < A2(r)P21/12, Az{r) — const. (2.6)