О среднем взаимном уклонении независимых времен пребывания гауссовских случайных процессов

• Автор: Макарова, Светлана Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 102 c. : ил

ППАВА I. Оценки средних взаимных уклонений времен пребывания
независимых траекторий в различных метриках
§ Г. Постановка задачи
§ 2. Взаимные уклонения времен пребывания в метриках
§ 3. Взаимные уклонения времен пребывания в метриках
Ц* и
§ 4. Взаимные уклонения совместных распределений
нескольких функционалов
ПЛАВА П. О существовании типичных распределений
§ I. Постановка задачи
§ 2. Существование типичных распределений для метрик
Р-, и **
§ 3. Замечание о смеси гауссовских мер
§ 4. Теорема о существовании типичных совместных распределений в метрике Канторовича-Рубинштейна
ЛИТЕРАТУРА
— 3 •"*
Изучение времен пребывания случайных процессов - одна из важных и принципиальных задач современной теории вероятностей. Ее истоки можно видеть в классической эргодической теории. Многие ее аспекты начали исследоваться сравнительно недавно и вызывают в настоящее время, все возрастающий интерес.
В настоящей работе рассматривается вопрос о том, насколько статистически разнообразными могут быть времена пребывания независимых траекторий измеримого центрированного гауссовского случайного процесса, реализации которого лежат в некотором пространстве МХАР) (РОС) .К задаче можно подходить поразному. В 1978 году В.Н.Судаков 142.1 предложил рассматривать совокупности времен пребывания |^ = м , когда траектории { выбираются из расширяющейся системы N —мерных подпространств Р*еи,(ХД,Р) . и доказал, что при фиксированном N в совокупности распределений имеется типичное в следующем смысле: для любого В >о при достаточно большом Д/С £) (зависящем лишь от £ ) при каждом
Ы> Н(в) можно найти такое распределение Р на прямой,
что отклонение от Р в смысле метрики Канторовича-1^бинштейна £ (см.РП;ОО1,[<01) меньше £ , если ^ выбирать
из шкоторого множества 1 а Р ^ » мера которого
относительно нормированной инвариантной меры на -<1 больше 4- В • Там же было показано, что вместо меры на сфере можно брать гауссовскую меру в Ры с плотностью (Ы/2.т)
.е*р{-»*)£• N/2.}
( Ни - след на р^ нормы из
Мх,ос,Р) ).

B связи с этим результатом Б.С.Цирельсоном была высказана гипотеза о справедливости более сильного утверждения: существует такое распределение р на прямой, что Е^ ( ,Ъ)< oo*wt • Частичный ответ на этот вопрос получен ниже (теорема I § 3 гл.1). В 1982 году С.В.Нагаев [8 3 предложил вместо метрики è£ рассматривать более слабую метрику |>с (см. определение в § 2 гл.1) и, используя аппарат характеристических функций, доказал, что существует такое распределение Р , что Е^ р« (Р)< и, следовательно, для метрики р0 справедлива теорема о существовании типичного распределения, аналогичная теореме В.Н.Суда-кова.
Глава I работы посвящена усилению и обобщению результата
С.В.Нагаева на случай некоторых новых семейств метрик, причем используемые методы совершенно отличны от метода характеристических функций, примененного С.В.Нагаевым. В главе П получены обобщения теоремы В.Н.Судакова о типичном распределении на случай совместного распределения по мере Р нескольких функционалов. Для ряда метрик эти результаты удается вывести как следствие теорем главы I об оценках средних взаимных уклонений независимых времен пребывания, а в случае метрики Канторовича-Губинштейна используется, с некоторыми модификациями, метод, примененный
В.Н.Судаковым.
Перейдем к более подробному изложению содержания работы.
Всюду ниже будем рассматривать только измеримые центрированные гауссовские процзссы (за исключением § 3 гл.П, где будет рассмотрена смесь таких процессов). Все рассматриваемые множества будут предполагаться борелевскими, а меры - борелевскими вероятностными (за исключением меры Лебега в ). Будем счи-

Доказательство. I. Известно (см. С16Ц), что при справедливо представление
причем > 0 при всех ^ и 2^,='( •
Полагая ^ = - н.2- немедленно получаем
ех> , II
ср1(^)— I— =22 об* 2. €. -Сд ,
а рА Ь
О»о
и Ц(р,|| - Хос * = 4.
4 <Г1 *
Аналогично получаем, что |1 ^||^ = Л
2. Представим ер? в виде
у5(г) = (#+^=?--4)г= ]г
Пусть ^(|“)= • Очевидно
Применяя к суперпозиции £ о лемму 3 немедленно получаем,
что ^3 =
Доказательство завершено.
Вернемся к лемме 2.
Доказательство леммы 2. Отметим деэ легко проверяемых свойства функции бгы :
1) симметричность: (&*,£)в (*,*( 4, <х) )
2) однородность нулевой степени: ^(Ха, А-£)=Сгы(а., -€ ) при всех А > 0 .
Определим функцию равенством