Трансформации пуассоновских мер и их применения

• Автор: Шмилева, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 118 с. : ил.

ГЛАВА 1. Квазиинвариантность пуассоновских мер относительно трансформаций пространства

1.1. Постановка задачи

1.2. Теорема об абсолютной непрерывности пуассоновских мер

1.3. Критерий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно "линейных" трансформаций прострнства

ГЛАВА 2. Малые уклонения пуассоновского процесса

2.1. Метод Комлоша-Майора-Тушнади

2.2. Новый метод

2.2.1. Случай функций ограниченной вариации производной

2.2.2. Обобщение на случай функций с правильно меняющейся производной

2.3. Сравнение методов

ГЛАВА 3. Аналог закона Штрассена для пуассоновского процесса и для хвостовых эмпирических процессов
3.1. Случай функций ограниченной вариации производной
3.2. Случай степенных функций бесконечной вариации производной
Глава 4. Малые уклонения процессов с независимыми приращениями общего вида
4.1. Вероятности малых шаров для скачкообразных процессов с независимыми стационарными приращениями
Приложение
А Закон Штрассена для винеровского процесса
В Принципы инвариантности
Заключение
Литература

Процессы с независимыми приращениями (ПСНП) являются одними из основных объектов теории вероятностей. Изучая трансформации луас-соновских мер, которые, как хорошо известно, характеризуют структуру скачков ПСНП, мы имеем эффективное средство для исследования свойств этих процессов.
Возможность преобразовывать ПСНП дает формула Скорохода для взаимной плотности их распределений. Существует также аналог формулы Скорохода для взаимной плотности распределений пуассоновских мер. Этот полезный инструмент используется нами в двух классах задач. Во-первых, мы исследуем квазиинвариантность пуассоновских мер относительно одной группы "линейных" трансформаций пространства, возникающей в теории представлений (см. работы А.М.Вершика, М.Пора, Н.В.Цилевич [31], [32]). Во-вторых, изучаем поведение вероятностей малых уклонений пуассоновского процесса высокой интенсивности.
Малые уклонения — новая и активно развивающаяся область современной теории вероятностей. Она берет свое начало в классических работах A.A. Могульского [44], K.JI.Чжуна [8], Г.Н. Сытой. Однако, как отдельное и важное направление теория малых уклонений сформировалось за последние 10 лет. В настоящее время обнаруживаются интересные взаимосвязи с другими областями науки такими как функциональный анализ и математическая физика, за счет чего возникают новые методы исследований. С другой стороны, развитие этого направления стимулируется все более многочисленными приложениями, например, в теории кодирования и теории аппроксимации функций. Известно также, что малые уклонения используются для доказательства функциональных законов повторного логарифма (Штрассена, Чжуна, Вичуры); они напрямую связаны с энтропией ком-

пактных операторов на банаховых пространствах; благодаря тауберовой теореме, с их помощью оценивают преобразование Лапласа норм стохастических процессов.
Современная теория малых уклонений в основном содержит результаты о гауссовских процессах (см. [24]). Причем методы, которые работают в гауссовском случае, неприменимы для других интересных разновидностей процессов, таких, например, как пуассоновский процесс, эмпирические процессы, процессы с независимыми приращениями общего вида.
Основная часть диссертационной работы посвящена исследованию вероятностей нецентральных малых уклонений для пуассоновского процесса высокой интенсивности, сложного процесса Пуассона и для эмпирических процессов. С этой тематикой тесно связана задача о функциональном законе Штрассена, поскольку оценки для вероятностей смещенных малых шаров играют ключевую роль при нахождении скоростей сходимости в этом законе. В данной работе сформулированы аналоги функционального закона Штрассена для пуассоновского процесса высокой интенсивности и для хвостового эмпирического процесса и найдены соответствующие скорости сходимости.
Отдельное внимание в диссертации уделено изучению условий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно "линейных" растяжений пространства. Решение этой вполне конкретной задачи находит свое применение в теории представлений.
Как уже отмечалось, все методы, использованные в работе, так или иначе основаны на формуле Скорохода или ее аналоге для пуассоновских мер. В частности, критерий квазиинвариантности получается непосредственным применением теоремы о необходимых и достаточных условиях абсолютной непрерывности распределений пуассоновских мер [19]. Возникающее при этом интегральное условие на спектральные меры (конеч-

В итоге получаем равенство, и можем утверждать, что на (а) Предположим, что существует е > 0 такое, что
essup |(fiq '| > essup |/'| + £.
Значит, найдется so £ (0,1) такое, что y>q '(so) существует и
|vV(so)l > essup|/'| +е. (2.23)
Будем считать, что p>q'{so) > 0. Случай ipq'(so) < 0 аналогичен. Если же 4>q 4so) = 0> то противоречие получается сразу же.
Рассмотрим прямую у (s) = (essup|/'| + e)(s — Sq) + где <5 > 0. Ясно также, что на этом интервале прямая расположена ниже /(•) + ? (верхней границы полосы).
Покажем также, что график у(-) на отрезке (so, 1] расположен выше графика функции /(■) — q (нижней границы полосы).
Для произвольного Д > 0 можно записать
y(s0 + Д) = (essup|/'| + е) • Д + ip9(so) > essup | f11 • Д + f(s0) -q>
-5°-Дд -/(5o) • Д + /(so) - q = /(so + Д) - q.
Итак, мы установили, что существует некий невырожденный интервал такой, что прямая у на нем расположена внутри полосы и ниже графика функции (рд, к тому же эта прямая не пересекает нижнюю границу полосы вплоть до точки 1.
Исходя из этого, есть две возможности: либо прямая у пересекает график функции ipq, т.е. существует точка s2 такая, что (fQ(s) > y(s) для любого s £ (s0,S2) и