Линейные и нелинейные марковские системы на прямой

• Автор: Музычка, Степан Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Анализ системы гармонических осцилляторов с локальным взаимодействием
1.1 Динамический фазовый переход в простейшей модели цепочки
молекул
1.2 Асимптотика времени разрыва цепочки под действием белого

1.3 Необходимые сведения
1.4 Доказательство теоремы 1.
1.5 Доказательство теоремы 1.
1.6 Доказательство теоремы 1.
1.7 Доказательство теоремы 1.
2 Класс нелинейных марковских процессов, допускающих явное описание: существование процесса и примеры
2.1 Описание модели и теорема существования и единственности
2.2 Примеры
2.3 Необходимые сведения из функционального анализа
2.4 Доказательство теоремы 2.
2.5 Доказательство теоремы 2.2 и предложения 2.2
2.6 Доказательство теоремы 2.
2.7 Доказательство предложения 2.3 и теоремы 2.4
3 Класс нелинейных марковских процессов, допускающих явное описание: сходимость к инвариантной мере
3.1 А-частичная аппроксимация и сходимость процесса

3.2 Доказательство теорем 3.3 и 3.
3.3 Доказательство теорем 3.4 и 3.
3.4 Доказательство теоремы 3.

Список основных обозначений
:= — «положить по определению».
N — множество натуральных чисел.
Ъ — множество целых чисел.
— множество неотрицательных целых чисел.
К — множество всех действительных чисел.
К+ — множество неотрицательных целых чисел.
В{Е) — а-алгебра борелевских подмножеств метрического пространства Е.
'Р{Е) — множество всех вероятностных мер на (Е,В(Е)).
С(У) — множество непрерывных операторов, действующих на линейном пространстве V.
ОД,С2) — множество непрерывных линейных отображений, действующих из одного векторного пространства У в другое — У
С(Х) — множество непрерывных действительнозначных функций на топологическом пространстве X.
С(Х, У) — множество непрерывных функций, отображающих топологическое пространство X в топологическое пространство У.
а Л Ь = тт(а, Ъ) — минимум из двух чисел а и Ь.
а V Ь = тах(а, Ь) — максимум из двух чисел а и Ь.
[а] = [а] — нижняя целая часть числа а.
[а] — верхняя целая часть числа а.
{а} — дробная часть числа а.
Е£ — математическое ожидание случайной величины £.
— дисперсия случайной величины £.
1.6 Доказательство теоремы 1.
Обозначив через -ф(t) = (q(£),p(£)), систему уравнений (1.2.2) —(1.2.3) можно переписать в виде
dijj(t) = Aip(t)dt + £0gNdwt,

л=[ -v о )’9N = (М^_3^
V / 2ЛГ-
Мы получили линейную систему дифференциальных уравнений, которая имеет следующее решение
tp(t) = є0еіА [ e~sAgNdws.

Учитывая внешний вид матрицы А, отсюда имеем
q(t) = e0V~1/2 J sin (v1/2(t - s) j eNdws,
P (t) = єо r COS — s) j ejvdws.
Используя формулу Ито (см. [85, 67, гл 8]), имеем
ЕрТ(£)р(0 = ео J eN cos2 (vl/2(t - s)) eNds,

В итоге имеем
(i)Vq(t) — £o J e?) sin2 (vl/2{t - s)j e^ds.
2 * e20t
ЕЯ(0 = ^еРТ(0рИ + ^ЕЯТ(*Жч(*) = ~2 /о еме^з 1.7 Доказательство теоремы 1.
Вспомогательные утверждения При доказательстве теоремы 1.4 мы будем использовать следующие технические утверждения.
Предложение 1.5. Пусть сфД), т = 1,..., N — 1 являются решениями