Сходимость вполне и предельные теоремы в схеме серий

• Автор: Микушева, Анна Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Содержание
1. Сходимость вполне
по подпоследовательности для сумм
отрицательно ассоциированных
случайных величин.
1.1. Достаточные условия сходимости вполне
1.2. Необходимые условия для сходимости вполне
1.3. Бутстреповские средние и сходимость вполне
2. Оценки типа Ваума-Каца
скорости сходимости
в законе больших чисел.
2.1. Аналог теоремы Баума-Каца для отрицательно ассоциированных случайных полей
2.2. Оценка типа Баума-Каца для случайных величин, обладающих сильным перемешиванием
2.3. Оптимальность условий в оценке для сильноперемеши-
вающихся случайных величин
3. Предельные теоремы в схеме серий.
3.1. Усиленный закон больших чисел в схеме серий
3.2. Логарифмический закон в схеме серий для подпоследовательностей
3.3. Оптимальность моментных требований в логарифмическом законе

Введение.
Предельные теоремы для сумм случайных величин являются традиционной областью теории вероятностей, имеющей разнообразные приложения. Обзор ее основных результатов содержится, например, в монографиях [1], [4], [6], [7], [8], [14]. Наряду с классической теорией суммирования случайных слагаемых, где рассматриваются последовательности нарастающих сумм, большое внимание уделяется суммированию в схеме серий и возникающему в связи с ним понятию сходимости вполне.
Напомним, что под суммированием в схеме серий обычно понимают рассмотрение сумм вида Sn = Ej=i Xnj, где {Xnj : 1 < j < Л7„, n £ N}-набор случайных величин, индексируемый двумя индексами, a Nn- некоторая последовательность натуральных чисел, в то время как классическая теория суммирования имеет дело с последовательностью нарастающих сумм, т.е. Sn = E?=i Xj, где {Хп : п £ N}- последовательность случайных величин. Разумеется, от схемы последовательностей легко перейти к схеме серий, ПОЛОЖИВ Xnj = Xj)j = 1,..., п(п 6 N).
Отметим также, что используются различные понятия сходимости последовательностей (должным образом нормированных) сумм случайных величин. Понятие сходимости вполне (complete convergence) появилось в работе Хсу и Роббинса [40]. Согласно ей, последовательность случайных величин Yn сходится вполне к величине У, если

53 Р{|У„ — 5 ,>-:}< ос для любого е > 0.

Здесь и, если не оговорено противное, всюду далее рассматриваются действительные случайные величины. Применив известную лемму Бореля-Кантелли (см., напр., [17], стр. 271), легко видеть, что сходимость вполне влечет за собой сходимость почти наверное, а для случая, когда величины Yn независимы между собой, эти два вида сходимости совпадают.
Классический результат Хсу и Роббинса заключается в следующем:

Теорема 1 ([40]). Пусть Х,... ,Хп,..независимые одинаково ‘распределенные случайные величины, Ху Тогда условие
ЕЛ'2 < оо (1)
является достаточным для того, чтобы последовательность а‘~ ”
сходилась вполне к 0 при п оо.
Как доказал Эрдеш [31], условие (1) является также и необходимым.
На этот результат можно смотреть с нескольких точек зрения: во-первых, как на закон больших чисел относительного нового вида сходимости - сходимости вполне, которая, вообще говоря, сильнее сходимости почти наверное. Последнее замечание объясняет усиление мо-ментных требований, налагаемых на случайные величины, по сравнению с усиленным законом больших чисел. Напомним (см., напр., [17], стр. 376), что необходимым и достаточным условием для выполнения классического усиленного закона больших чисел Колмогорова для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин является конечность абсолютного первого момента случайных величин.
Во-вторых, теорема Хсу-Роббинса представляет собой оценку скорости сходимости в законе больших чисел. В основании этой трактовки теоремы 1 лежит идея, что скорость сходимости к нулю последовательности ап можно измерить в терминах показателя у, для которого ряд га7о„ сходится. Важнейшим обобщением в этом направлении теоремы Хсу-Роббинса- Эрдеша является результат Баума- Каца [19], [20].
Теорема 2 ([19]). Пусть {Хп,п е М}— независимые одинаково распределенные случайные величины. 5„ = Е)Е| Хр, 1/2 < а < 1,ар > 1. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
ЩХ„Р < со и ЕХ„ = д;

^2 пар Р{Зп - пр> апа} < оо для любого е > 0; (2)

2. Оценки типа Баума Каца скорости сходимости в законе больших чисел.
2.1. Аналог теоремы Баума-Каца для отрицательно ассоциированных случайных полей.
Данная глава отражает второй подход к трактовке теоремы Хсу Роббинса-Эрдеша, а именно, как оценки скорости сходимости в законе больших чисел. Как указывалось раннее, фундаментальным результатом в этом направлении является теорема Баума-Каца [19], [20].
В данном параграфе нас будут интересовать обобщения теоремы Баума-Каца, относящиеся к случайным полям, образованным, вообще говоря, зависимыми (а именно, отрицательно ассоциированными) величинами.
Пусть {Х„, п £ — случайное поле (всюду рассматриваем дей-
ствительные случайные величины), заданное на некотором вероятностном пространстве (П, Т’, Р) и множестве 2^ == {0,1,.. .}й. Для векторов ] = (ц,... ,Д*) и п = («г, • • •, пл) запись .] < п означает Д < щ для всех * = 1,..., Д аналогично ] < п означает Д < п;, г = 1,..., Д Введем для прямоугольника
Я. = Д(Ь, п) = и £ 2^ : Ь < д < Ь -(- п}
следующие случайные величины
5(Л) = 5(Ь, п) = Е Ег5(п) = 5(°> п)>
М(Я) = М(Ъ, п) = тах |5(Ь,к)|, М(п) = М(0, п).

Основной результат этого параграфа формулируется так:
Теорема 2.1. Пусть {Х,Хп,п € Z^}— отрицательно ассоциированные, одинаково распределенные центрированные случайные величины. Пусть функции а(п),6(п) определены согласно (10), причем
1/2 < < 1,7* > —1(1 < г < д),