Томографические методы анализа стохастических полей

• Автор: Шестаков, Олег Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Общая характеристика работы
2. Краткое содержание диссертации -
3. Список публикаций автора 14 Глава 1. Точность восстановления томографических
изображений
1.1 Радоновские образы и задача традиционной томографии
1.2 Формула обращения
1.3 Регуляризация формулы обращения
1.4 Неполные данные, проблема единственности и устойчивости
1.5 Конечный набор проекционных данных. Парадокс компьютерной томографии
1.6 Оценка расстояния между плотностями вероятностных мер, имеющих близкие проекции по конечному числу направлений
Глава 2. Восстановление вероятностных характеристик
случайных функций по проекциям
2.1 Особенности стохастической томографии
2.2 Постановка задачи
2.3 Общий случай. Контрпримеры
2.4 Класс Т случайных функций и теорема единственности
2.5 Группировка проекций случайных функций из класса Tf
2.6 Вычислительный алгоритм группировки проекций
случайных функций из класса 2/
2.7 Вычислительный алгоритм реконструкции состояний
случайной функции
2.8 Влияние погрешностей в проекционных данных
2.9 Оценка погрешности в восстанавливаемых состояниях случайной функции
2.10 Случай счетного числа состояний случайной функции
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Томография — одно из новейших, бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Образно говоря, томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта.
Теоретические основы томографии были заложены в 1917 году Радоном, который вывел формулу реконструкции функции, описывающей внутреннюю структуру объекта, по проекционным данным.
В медицинских и биологических науках результаты Радона начали находить свое применение в 1960-х годах. По оценкам некоторых ученых внедрение метода компьютерной томографии ’’революционизировало” медицинскую диагностику и электронную микроскопию биологических макромолекул [8,9]. Создание компьютерных томографов (А. Кормак и Г. Н. Ха-унсфилд) и их применение в биохимии (А. Клуг) отмечены Нобелевскими премиями (1979, 1982 гг.).
Сегодня томографические методы применяются в медицине, диагностике плазмы, астрономии, химии, биологии, для оценки многомерных плотностей вероятностных распределений и во многих других областях науки и техники (см. [7], [10-12], [14] и [16]). Более того, по мнению ведущих специалистов, томография проходит еще только начальную стадию своего развития и истинное ее значение можно будет оценить лишь в будущем.
Современная томография для получения информации использует излучение самой различной физической природы. Это ультразвук, радио- и оптические сигналы, рентгеновские и у-лучи и т. д. Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в постановке, томографического эксперимента и в его аппаратурной реализации. Однако та информация (проекционные данные), которая получается в процессе этих томографических экспериментов и с которой оперирует исследователь при восстановлении изображения, может быть описана очень похожими математическими зависимостями.
Именно это обстоятельство позволяет говорить о томографии, как о целом направлении в области обработки информации, и, абстрагируясь (на некотором уровне анализа) от конкретного вида излучения, сформулиро-

вать основную проблему томографии — как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным данным ’’увидеть” внутреннюю структуру анализируемого объекта.
Решение задачи томографии основано на обращении преобразования Радона, позволяющем восстановить (единственным образом) функцию, описывающую внутреннюю структуру объекта [13]. Однако, единственность гарантирована лишь в том случае, когда известны все (бесконечное число) проекции. На практике можно получить лишь конечное число проекций, восстановить функцию в этом случае невозможно [15].
Кроме того, непосредственное применение математических соотношений интегральной геометрии, используемых при обращении преобразования Радона, в реальном эксперименте часто приводит к очень большим ошибкам, поскольку задача обращения преобразования Радона относится к классу так называемых некорректно поставленных задач. Для преодоления этой трудности используются специальные математические методы, именуемые методами решения некорректно поставленных задач [6].
Часто функция, описывающая внутреннюю структуру объекта, является случайной. Такие ситуации могут возникать, по меньшей мере по двум причинам. Во-первых, изучаемый объект может быть настолько чувствительным к просвечивающим его радиационным лучам, что любой метод сбора данных, основанный на просвечивании одного объекта под разными углами, оказывается неприемлемым. Такая ситуация типична для биологии при исследования структуры макромолекул. Для решения этой проблемы было предложено несколько методов (см., например, [17-20] и [23]), которые основаны на использовании множества однотипных объектов таким образом, что различные проекции получаются при просвечивании различных объектов. Поскольку каждый объект имеет какие-то свои индивидуальные особенности, и, кроме того, просвечивание радиационными лучами может привести к некоторым структурным изменениям в какой-то части объектов, а проекции выбираются случайным образом, то объект должен описываться случайной функцией.
Во-вторых, исследуемый объект может меняться во времени случайным образом, и время, в течение которого регистрируются все проекции, существенно больше, чем время изменения структуры объекта. Такая ситуация может возникнуть в газовой динамике и физике плазмы.
В случае, когда рассматриваются случайные функции, основной осо-

Следовательно, для любого единичного вектора
I (х, £)*/(:г)<7г = I (х, 1)гд(х)с1х, г = 0,. . ., к. й2 и
Обозначим за и д® проекции / и д в направлении а за /(т, £) и д(т, £)
(т € К) их характеристические функции. Носителем и является сегмент [—1,1]. Последнее уравнение эквивалентно тому, что
/(з) (т> 0 |т=о = д{8) (о ^ ]г=о, з = О,..., к,
где /^(т, £) и д^т,£) — это в-е производные от /(т, и по т. Раз-
ложение в ряд Тейлора дает
;(т, () _ 4(т, 0 = Т + Муь^мт1,
«=0 к'
где т некоторое число, лежащее между 0 и г. Первая сумма в правой части равна нулю, поэтому получаем
/(тд)-д(Т,() = ДМ_ТМЛ
и остается оценить разность — д^{т, Ь), т Е [0, т].
Обозначим
Ко*) = Р](О*) -0(*}(М), т 6 [0,т].
Тогда для всех у = 1,...,

1Мо^)| — / 1^1* |/^(ж) — 5^(гс)| ^ — е /

Для любого направления £, заключенного в угле, образованном прямыми с направлениями 9^ и б^+ь 2 — 1> • • • > N (0дг+1 = 9), имеем

|й(т, £)| - Мт,0?)| < |к(т,£) - /г(г,^)| < 4л/2т^ Следовательно,