Неаддитивные задачи об оптимальной остановке для стационарных диффузий

• Автор: Каменов, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Башелье-версия русского опциона на конечном интервале
1.1 Постановка задачи
1.2 Решение задачи
1.2.1 Уравнение для границы области остановки
1.2.2 Доказательство оптимальности
1.3 Свойства решения
1.3.1 Асимптотика вблизи Т
1.3.2 Асимптотика на бесконечности
2 Общая задача на бесконечном интервале
2.1 Постановка задачи
2.2 Остановка на диагонали
2.3 Решение задачи
2.3.1 Дифференциальное уравнение для граничной кривой
2.3.2 Условие однократного пересечения
2.3.3 Верификационная теорема
2.4 Частный случай: максимизация расстояния до минимума
3 Общая задача на конечном интервале
3.1 Введение
3.2 Остановка на диагонали

3.3 Решение задачи
3.3.1 Дифференциальное уравнение для граничной поверхности.
3.3.2 Верификационная теорема
3.4 Частный случай: минимизация отношения к максимуму.
Заключение
Список рисунков
Литература

Введение
Задача об оптимальной остановке имеет множество применений, в первую очередь в финансовой математике. Типичными ситуациями, в которых возникает указанная задача, являются определение безарбитражной цены для опционов Американского типа и задача оптимального управления капиталом.
Одной из значимых проблем финансовой математики является определение справедливой цены для русского опциона. Термин «русский опцион» был впервые введен Л.Шеппом и А.Н.Ширяевым в работе [1]. По такому контракту, покупатель имеет право в любой момент времени продать актив по максимальной цене, наблюдавшейся с момента заключения контракта, при этом платя штраф, пропорциональный прошедшему времени. Таким образом, покупатель опциона минимизирует возможные потери вследствие того, что он мог бы предъявить опцион к исполнению раньше. Такой контракт торгуется за рубежом, хотя и в сравнительно небольших объёмах. При этом для оценки его справедливой стоимости используется модель опциона американского типа с немного изменёнными параметрами.
Русскому опциону посвящены исследования множества авторов. В работе [2] был предложен подход к решению задачи, основанный на введении дуальной мартингальной меры. В [3] решена задача для «барьерной» версии опциона - т.е. момент остановки не должен превосходить момента первого достижения процессом некоторого уровня. Задача, аналогичная рассмотренной в настоящей работе, была решена для модели Башелье в [4], а в работе [5]

Глава
Общая задача на бесконечном интервале
2.1 Постановка задачи.
Аналогично предыдущей главе, введём процесс максимума
Мг = тахХ; (2.1)
Обозначим $ = {(ж, з) : х £ I, в £ /, х ^ й} - множество всех значений,
которые может принимать двухмерный процесс (Хг, М4).
В этой главе мы рассмотрим задачу
К(ж,в)= вир Е хз/(Хт,Мт), (2.2)
геШх(Л
где предполагается, что /(х,в) £ С2,1(17), оценивающая «близость» значения процесса в момент остановки к значению текущего максимума, удовлетворяет условию
№,А>и = 0, (2.3)
а множество Шх(/) определяется как множество всех моментов остановки г, удовлетворяющих условию
Ем вир |/(Х4, Мг)| < оо, У(х, з) £ а • (2.4)