Некоторые предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей

• Автор: Шашкин, Алексей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Основные обозначения

Глава 1 Примеры слабо зависимых полей и

асимптотическая нормальность

§1.1. Примеры слабой зависимости

§1.2. Центральная предельная теорема, метод Стейна

§1.3. Применение техники Бернштейна к слабо зависимым полям

Глава 2 Оптимальность условий центральной

предельной теоремы для ассоциированных полей, приложения

§2.1. Контрпример к гипотезе Ньюмена

§2.2. Ядерные оценки плотности

Глава 3 Максимальные неравенства и принцип инвариантности

§3.1. Моментные неравенства и их следствия
§3.2. Неравенства, основанные на методе рандомизации
§3.3. Функциональные центральные предельные теоремы
Список литературы

Традиционной областью исследований теории вероятностей является получение предельных теорем для различных систем случайных элементов, индексированных точками какого-либо параметрического множества. При этом типичная постановка задачи состоит в изучении поведения определенным образом нормированных сумм случайных величин или случайных векторов. Как правило, указанные суммы берутся по конечным множествам индексов, растущим к бесконечности в определенном смысле. Так, в наиболее распространенном случае, когда множество индексов представляет собой решетку Z<^ или ее часть, рассматриваются "целочисленные" кубы или параллелепипеды. Используются также параметрические множества более общей природы. В этом случае рост множеств к бесконечности задается определенными условиями, которые вводятся в статистической механике (см., например, [31, с. 30-31]).
Современная теория суммирования независимых случайных величин была создана трудами А.Н.Колмогорова, Б.В.Гнеденко, Г.Крамера, П.Леви, В.Феллера, В.М.Золотарева, И.А.Ибрагимова, Ю.В.Линника,
В.В.Петрова и многих других ученых, см., напр., [24, 27, 44]. Начиная с марковских цепей, большое внимание уделяется стохастическим системам, в которых случайные элементы каким-либо образом зависимы. Среди важнейших классов зависимых процессов и полей — мартингалы и близкие им объекты ([44]), марковские процессы и поля ([30, 91]), процессы и поля с перемешиванием ([21,24,70]), гиббсовские поля([22,29]). Имеется ряд классов случайных систем, в которых описание свойств зависимости производится в терминах ковариаций между некоторыми функциями от конечных наборов случайных величин. Эти системы играют большую роль в статистической физике. Изучаемые в ней взаимодействующие частицы часто обладают свойствами притяжения или отталкивания, которым, в вероятностных терминах, соответствует положительная или отрицательная коррелированность должных функций от элементов случайного поля. Здесь важные результаты получили
Ч.Лебовиц, Б.Саймон, Ч.Ньюмен, К.Фортуин, П.Кастелейн, Ж.Жинибр, Р.Холли, Т.Лиггетт и другие исследователи.
Исследование предельных закономерностей для сумм зависимых мультиплексированных случайных величин является целью данной диссертационной работы.
Введем ряд определений. Далее Т - произвольное непустое индексное

множество. Для конечного множества I С Т пусть |7| - его мощность. Мы будем рассматривать случайные поля {Xt,t G 71}, определенные на вероятностном пространстве (12, Т, Р) и принимающие при любом i е Г значения в пространстве К*, s > 1 (всюду, где речь идет о случайных величинах без указания размерности, считается, что s = 1). Вектор Xt = (Хц, ... ,Xts) понимается как вектор-столбец. Для действительнозначной функции от sI аргументов запись f(Xi) означает, что рассматривается функция f(Xt,t G I) от случайных векторов Xt, индексы которых принадлежат множеству I. Эта запись определяет случайную величину f(Xi) с точностью до перестановки индексов i G I (координаты каждого из векторов Xi не переставляются). Однако эта неоднозначность не приводит к недоразумениям везде, где будет использоваться указанное обозначение.
Приведем ряд широко используемых определений зависимости в терминах ковариационных неравенств, обращаясь, после каждого из них, к некоторым важным примерам.
Определение 0.1 ([76]). Семейство случайных величин {Xt,t G Т} называется ассоциированным, если для любых конечных множеств индексов /, «7 С Т и ограниченных покоординатно неубывающих функций / : ŒfcW -+1из: M.I*7! —> М справедливо неравенство
1) Независимые действительные случайные величины([76]).
Произвольное семейство взаимно независимых случайных величин {Zt,t € Т} ассоциировано (неравенство Чебышева).
2) Гауссовские случайные поля ([108], другое доказательство в [85]). Гауссовское случайное поле {Xt,t € Т} ассоциировано тогда и только тогда, когда его ковариационная функция всюду неотрицательна.
3) Устойчивые случайные поля ([95]). Пусть X = {Xt,t 6 Г] -случайное поле такое, что для любого конечного набора индексов *1 гп вектор X = (Х; Х{п) имеет устойчивое распределение с параметром а е (0,2). Как известно (см., напр., [34, с. 665-666]), это означает, что его характеристическая функция Еехр{г(Х, А)} представима в виде
где î2 = — 1, А е R", Г — конечная мера на единичной сфере Sn~l, s G S"-1, p G M" и covifiXj^giXj)) > 0.

[(s, A) |Q(1 - ïS0n((s, A) V(a, s, А))Г(с2а) + i{p, А) ,

А < 2а(т)ч + i~2V2w{ai(m)\V{~1\iNb(Lip( + cb2+ia2(m)7V||Vr1-1||i+Ä} + 7_2Д, (1.53)
где а(т) = m(2+12/2(m+l)) и a2(m) = m2+(3Ä)/,2(12m+3+12v/2(2c(m) + m(m + 1)/2)).
Доказательство. Нам потребуются два элементарных результата. Лемма 1.3.1. Пусть Co?Ci ~ случайные векторы со значениями в Кт такие, что EIIColl2 < оо. Тогда для каждого 7 > О
sup |P(Co + Ci 6 5)-Р (Z € В) I < sup |P(Ci 6 5)-P(Z е В)+
ВеСт В€Ст
+ 7а(т) +7_2Е||Со||2Доказательство. Пусть В(7) = В^ и В2(7) = В (дВ)^ Тогда В(j),B2(7) € Cm- Имеем
Р(Со + Cl е В) - Р(Z ев)< Р(||Со|| > 7)+
+P(Ci G #1(7)) - Р(Z е В,(7)) + P(Z € Bl(7) В)),
Р(Со + Ci € В) - P(Z € В) > Р(||Со|| > 7)+
+P(Ci G В2(7)) - Р{Z G Ва(7)) - P(Z € В В2(7))).
Объединив неравенства, воспользуемся определением а(т) и неравенством Чебышева. Взятие верхней грани по Ст дает требуемое утверждение.
Лемма 1.3.2. Пусть С - центрированный случайный вектор со значениями в Мга такой, что Е||С||2 < оо. Тогда для всякой неслучайной матрицы А порядка т верна оценка
ЕЦНСЦ2 < m2||A||?||D(C)||i.
Доказательство.
Е1ИС112 < EIHCIIS < М11?тЕ||СГ = M||2mrr(DC) < msM||5||D(Ofli.
Чтобы доказать теорему 1.3.1, заметим, что AS = Со + Сь где
N N
Ci = Vf1 ]Г xk, Со = {AVi - iwr1 J2 Xk + ÄXb *=1
здесь I - единичная матрица порядка т.