Асимптотическая теория статистического анализа наблюдений высокой размерности

• Автор: Сердобольский, Вадим Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 245 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Введение. Существенно многомерный подход к задачам статистического анализа
Глава 2. Резольвента и спектральные функции больших выборочных ковариационных матриц
Спектральные функции случайных матриц Грама Спектральные функции выборочных ковариационных матриц Предельные спектральные функции растущих выборочных ковариационных матриц
Глава 3. Резольвента и спектральные функции объединенных выборочных ковариационных матриц

Постановка задачи

Спектральные функции объединенных случайных матриц Грама Спектральные функции объединенных выборочных ковариационных матриц Предельные спектральные функции растущих объединенных выборочных ковариационных матриц

Глава 4, Нормальное вычисление

функций качества

Мера нормализуемое

Спектральные функции больших
выборочных ковариационных матриц
Нормальное вычисление функционалов
зависящих от выборок
Обсуждение
Глава 5. Оценивание обратных ковариационных матриц высокой размерности
Компрессионные оценки обратных
ковариационных матриц
Обобщенные гребневые оценки обратных
ковариационных матриц
Асимптотически неулучшаемые оценки
обратных ковариационных матриц
Глава 6. Покомпонентное компрессионное
оценивание нормальных средних
Функция оценивания компонент
Оценки неулучшаемой функции оценивания

Глава 7. Улучшенные оценки векторов математических ожиданий растущей размерности
Предельный квадратичный риск для класса оценок векторов математических ожиданий.
Минимизация предельного квадратичного
риска
Статистики, аппроксимирующие предельную
функцию квадратичного риска
Статистики, аппроксимирующие
экстремальное предельное решения
Глава 8. Линейная выборочная регрессия
большой размерности
Функционалы, зависящие от статистик 8 и
Функционалы, зависящие от выборочных ковариационных матриц и векторов ковариаций
Главная часть квадратичного риска
и ее оценка
Частные случаи

валось лишь для некоторых специальных распределений. В главе 7 диссертации представлено решение задачи асимптотически не-улучшаемого оценивания вектора математических ожиданий для произвольных совокупностей с четырьмя моментами всех переменных. Заметим, что в случае зависимых векторов целесообразно взвешивать компоненты вектора средних в системе координат, в которой выборочная ковариационная матрица С диагональна. Это приводит к классу Я оценок вида
£ = г(С)х, (13)
где матричная функция Г (С) имеет вид (12), Для оценок такого вида можно применить теоремы о резольвенте матриц С, доказанные в главе 2. Рассматривается последовательность задач
ф = {(6,ц,ЛГ,Х,х,С',ц)п}, п = 1,2,..., (14)
в которых п-мерный вектор /і = Е х оценивается по выборке X объема N с выборочным средним х и выборочной ковариационной матрицей С и по этим статистикам строится оценка ц.
Изучаются предельные соотношения. Доказывается, что при некоторых ограничениях функция квадратичных потерь Ьп = (;; — д)2 сходится при п -> оо в среднем квадратичном в классе ц Є Я. Затем конструируются статистики, аппроксимирующие Ьп с убывающей неточностью. Для них решается экстремальная задача. Предлагается состоятельная оценка предельной экстремальной функции Гор*(<7), что дает возможность построить асимптотически ^-доминирующую оценку векторов /' = Е X.
Этот результат можно сформулировать следующим образом. Построим регуляризованную оценку '/1орі = Г°рі((7)х, где соответствующая скалярная функция Г°р*(ц), равна
Г ( п Іт п_Чг (1 — и)~1С)~1 е/ж
} га“ С0’1 - N ----------ЙОР------------,) („-„)*+** (15)
где з(г) — 1 —- п/ЛГ + ІУ"“Чг (I — гС)-1, а ги = и — іє, є > 0.