Многомерные параметрические модели случайных подстановок и их вероятностно-статистический анализ

• Автор: Солдаткина, Мария Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение

Глава 1 Равновероятная модель случайных подстановок: обзор

результатов

§1. Введение

§2. Отображения

§3. Подстановки и их цикловая структура

§4. Случайные подстановки, распределение их цикловой структуры.

§5. Некоторые вспомогательные результаты

§6. Число циклов случайной подстановки

§7. Циклы конечной длины
§8. Циклы большой длины
§9. Длина максимального цикла
§10. Общая картина
Глава 2 Анализ с/ -параметрической модели случайных подстановок
§1. Модель и основные соотношения для неё
1.1. Мера и производящие функции
1.2. Моменты
1.3. Вектор чисел Чу-циклов
1.4. Максимальные длины -циклов
1.5. Представление в виде условного распределения
1.6. Подстановки с рандомизированной степенью
§2. Конкретизации А -параметрической модели
2.1. Двухпараметрическая модель
2.2. б/-инволюции
2.3. Подстановки с кратными длинами циклов
2.4. А(г) -циклы
§3. Асимптотическая нормальность чисел конгруэнтных циклов в с
параметрической модели случайных подстановок

3.1. Конгруэнтные циклы подстановки
3.2. Асимптотическая нормальность чисел конгруэнтных циклов случайной подстановке
Глава 3 . Статистические задачи в £/ -параметрической модели случайных подстановок
§1. Асимптотическое оценивание
§2. Многовыборочный случай
§3. Критерий согласия
§4. Критерий однородности
§5 . Статистические задачи для случайных подстановок с цензурированными данными
5.1. Случайные подстановки с цензурированными данными
5.2. Оценивание параметров
5.3. Проверка гипотез
5.4. Большие выборки
5.5. Гипотеза однородности
Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
Подстановки степени п, п> 2 (далее используется термин «и-подстановки»), то есть взаимно однозначные отображения конечного множества Хп = {1,2,...,и} в себя, представляют собой один из наиболее интересных и популярных в математической литературе объектов дискретной математики. Неослабевающий в течение многих лет интерес к ним со стороны многочисленных исследователей обусловлен как их разнообразными (можно даже сказать - неисчерпаемыми) и глубокими аналитическими свойствами, так и широким применением их в различных областях научной и практической деятельности. Литература, посвященная подстановкам, практически необозрима, и поток соответствующих публикаций не истощается (см., напр., [3]—[7], [11], [12])
В последнее время все большую актуальность приобретают проблемы защиты информации, для решения которых во многих случаях вполне адекватными оказываются модели случайных подстановок, когда на множестве Бп всех п! «-подстановок вводится та или иная вероятностная мера Р, в соответствии с которой каждая подстановка 5 е б1,, наблюдается с вероятностью Р(э). Так возникает интереснейший объект вероятностной комбинаторики — случайные подстановки. При этом для различных целей адекватными оказываются различные варианты задания меры Р.
Так, если речь идет о комбинаторных, или перечислительных, задачах, когда требуется определить число подстановок, обладающих некоторым заданным свойством, то адекватной является равномерная
мера: Р(^) = — /я 6 . Такая равновероятная модель, которую принято

Вычислим, далее, среднее значение предельного распределения в (8.3), то есть производную
р;(1)=/1(/)=|-=1п-.
* г у

Справедливо более сильное утверждение, именно, в условиях теоремы
Еаь(п) ->1п— (8.4)

Сравнивая результаты (8.4) и (6.7), можно констатировать, что вклад в

сумму а(п) = ^а; «далёких хвостов» (а,,1>Ь) при Ь ~ уп,0<у <,

незначителен - всё «богатство» цикловой структуры а = (а,, а2, связано с её начальными отрезками (а,, / = о(п))..
Отметим также следующий результат ([3]): вероятность события С =
{случайная «-подстановка содержит цикл длины, большей уп} при У >~
асимптотически равна 1п

Из теоремы 4 следует также формула для вероятностей:
р(аЧЯ)<т)->Ф.Щ=1-я1^(т_1)(((1_и)Д0'),т>Г; (8.5)
в частности,

р(ай(«) = 0)^Ф1(г) = 1~ I ^т—1Лу) =

' 5 = 0,1,2,

(8.6)

5 + 1 5.